PKU 1062 單源最短路徑

Dijkstra演算法：有向圖G=(V,E)

1、把源點v0放入到集合S中，計數器c=0。每個結點一個結構資料d(a,b), a表示到v0的最短路徑長，b表示a的前趨節點。初始化v0為d(0,-)並且除v0外的所有節點為d(INF,-)。這裡面INF表示無窮大。

 

2、通過遍曆集合S中所有節點v,來更新非集合S中所有節點u.

     更新條件為 d[u].first = min{du[u].first, d[v].first + wt(v,u)},其中d[u].first表示u節點資料的每一個元素，即u節點到源點最短路徑長。wt(v,u)表示節點v到節點u的路徑長。除了更新最短路徑長，而且更新前趨節點。

     此時，所有非集合S中節點資料更新完畢。如果

     a、非集合S中所有節點資料d為(INF,-),此時的圖為所求，表示這些非集合S中節點由源點不可達。

     b、否則，從這個節點中選擇d.first最少的節點加入到集合S中,計數器加一

 

3、當計數器c=n-1時，此時圖為所求，並且所有節點可達。

最佳化：第2步中更新所有非集合S中節點時，不需要遍曆所有集合S中節點，只需要判斷上一次迭代新加入的節點即可。

 

 

題意：探險家如何用最少的金幣獲得酋長所要的物品。每個節點附有等級、金幣數的值。如果A物品可以用B物品和C個金幣代替，那麼由A到B的邊權值為C。

分析：每個物品為一個節點。酋長所要物品為源節點。求源節點到其它節點的最短路徑。結果是到所有節點最短路徑加上物品價值和的最小值。說幾點需要注意的問題：

1、等級的處理：題中規定等級超過m的物品不可以交換，包括間接交換。比如a、b、c等級為1、2、3，如果等級限制為1的話，不可以通過a換b，b再換c這種方式，因為a與c的等級超過1。所以如果單次dijkstra求最短路徑時，我們很難確定是否加入非集合S的的節點，因為不清楚當前節點是否滿足等級要求，或者是否對未來要加入節點等級造成影響。所以目前採用的是枚舉範圍的方法，有一個事情我們是確定的，即初始節點的等級一定是在等級範圍裡的。所以我們枚舉(lev[s]-m, lev[s])到(lev[s],lev[s]+m)等級範圍。在處理最短路徑新加入節點時要求節點等級大於等於最低等級，小於等於最高等級。

2、有向圖問題：A物品可以用B物品和C個金幣代替，表示A到B的邊權為C，但是並不說明B到A也有一條權為C的邊，注意！

3、初始化問題：既然要多次運行dijkstra，那麼最小路徑長度一定要初始化。我前幾次WA就是錯在這裡，因為每次dijstra資料具有相似性，所以好多資料都檢查不出來。

4、表示無窮大的INF=(1>>30)-1足夠，鄰接矩陣用int也足夠，並不像DISCUSS中有人提到的要開INF=(1>>31)-1.

 

 

 

源碼如下：

 

 #include <iostream><br />#include <cstring><br />using namespace std;</p><p>const int N = 128;<br />const int INF = (1<<30)-1;</p><p>int adj[N][N];<br />int lev[N];<br />int val[N];<br />int V[N];</p><p>int m;//等級差距<br />int littleLev, bigLev;//本次dijkstra的最低與最高等級</p><p>/*s為源點,n為頂點數*/<br />int dijkstra(int s, int n){<br /> bool is[N];<br /> int pre = s;</p><p> memset(is,false,sizeof(is));<br /> for(int i=0;i<n;i++)<br /> V[i]=INF;;<br /> is[s]=true, V[s]=0;<br /> for(int j=0;j<n-1;j++){<br /> int min=INF,id;<br /> for(int i=0;i<n;i++) if(!is[i])<br /> if(lev[i]>=littleLev && lev[i]<=bigLev)//去掉這個等級約束就是標準的單源最短路徑<br /> {<br /> if(V[i] > V[pre] + adj[pre][i])<br /> V[i] = V[pre] + adj[pre][i];<br /> if(min > V[i])<br /> min = V[id=i];<br /> }<br /> if(min!=INF)//加入新點<br /> pre=id, is[id]=true;<br /> else//表示有些點不可達<br /> break;<br /> }<br /> int min = INF;<br /> for(int i=0;i<n;i++) if(V[i]!=INF)//求最短路時需要加上最下層物品價格<br /> if(min > V[i] + val[i])<br /> min=V[i] + val[i];<br /> return min;<br />}</p><p>int main()<br />{<br /> int n;</p><p> cin >> m >> n;<br /> for(int i=0;i<n;i++)<br /> for(int j=0;j<n;j++)<br /> adj[i][j]=(i==j) ? 0 : INF;//除對角邊其它應該初始為無窮大<br /> for(int i=0;i<n;i++){<br /> int c, dis, id;<br /> cin >> val[i] >> lev[i] >> c;<br /> for(int j=0;j<c;j++){<br /> cin >> id >> dis;<br /> adj[i][id-1]=dis;//有向圖這點注意<br /> }<br /> }<br /> int min=INF,ans;<br /> for(int i=lev[0]-m;i<=lev[0];i++){//枚舉所有等級範圍<br /> littleLev = i;<br /> bigLev = i+m;<br /> ans=dijkstra(0,n);<br /> if(min > ans)<br /> min=ans;<br /> }<br /> cout << min << endl;</p><p> return 0;<br />}<br />