poj 1063 Flip and Shift

數學，規律，構造類問題

題意，就是以任意一個點為中心，交換它左右兩個點的位置。

一開始想這題，有個地方錯了，所以一直想不到，就是把所有黑子當成一樣的，白子當成一樣，這樣想也不是說錯，但是這樣想會限制了思維

然後換一種思維，給所有棋子按1到n編號，就算顏色相同，編號也不同，是不同的棋子。

然後我們看看交換的時候會發生什麼事情

以點a為中心，那麼a-1和a+1發生交換，那麼也就是說，編號a-1的點去了a+1的位置，如果繼續交換的話，它還可以去到a+3，a+5……的位置，這裡有一個突破點就是，它所在的位置的奇偶性不行，如果它一開始就在奇數的位置，無論怎麼交換它還是在奇數位置，偶數亦然。

但！不要這麼輕易下結論，看看在結尾成環的地方會發生什麼

如果以1為中心，那麼n和2就可以交換位置

如果以n為中心，n-1和1就可以交換位置

這時候如果主要到了n的奇偶性的話，就能發現問題

 

如果n是奇數：

以1為中心的時候，n和2交換，那麼也就是說編號為n的點，原本在奇數的位置，現在去了2，就在偶數位置了，而2號點本來在2的位置現在去了n位置，位置的奇偶性也發生了變化

同樣的，如果以n為中心，交換n-1和1，它們所在的位置的奇偶性也會發生變化

結合上面的，如果不在借口處，交換，一個點所在的位置的奇偶性不變，如果在介面處交換，位置的奇偶性就會發生變化。那麼，一個點其實能去到任何它想去到的位置？對的沒錯！

一個點如果在偶數位，那麼不斷交換，它始終只能去到偶數位，但是到了介面處，卻改變了它位置的奇偶性，下一輪它就去到了奇數位置，在這一輪中它又始終在奇數位置…………依次不斷迴圈下去！所以很幸運的，這個點，只要它願意，只要迴圈次數足夠多，那麼它能去到任何一個它想去到的位置

如果n是偶數：

以1為中心，n和2交換，會發現n和2都是偶數，即使交換了，它們所在位置的奇偶性不會發生變化

以n為中心，n-1和1交換，會發現n-1和1都是奇數，即使交換了，它們所在的位置的奇偶性不會發生變化

所以對於n是偶數的情況則沒那麼幸運了，一個點一開始在偶數位置的話，無論怎麼交換，即使到了介面處繼續交換，都不能改變它所在位置的奇偶性。一開始的位置就是奇數亦然

 

有了上面這兩條很重要結論，我們的問題其實變為了一個構造類問題，並且僅僅是判斷這個構造能否成功

結論1：如果序列長度為奇數，對於序列中的任意一個點，它能去到任何位置

結論2：如果序列長度為偶數，對於序列中一開始就在奇數位置的點，它能去到任意奇數位置但去不到偶數位置，對於一開始就在偶數位置的點，它能去到任何偶數位置但去不到奇數位置

 

我們構造的目的是將所有黑色點聚集在一起：

當n為奇數的時候，這太容易了，因為我們能將任意一個黑色點移動到我們想讓它去的地方，所以要它們聚集在一起，那是一定能做到的，所以n為奇數，一定為YES

當n為偶數的時候，如果黑色點一開始就在偶數位置，我們能將它移到任意偶數位置，奇數亦然。所以我們只要保證，一開始，處在奇數位置的黑點和處在偶數位置的黑點的個數相差不超過1，那麼就能聚集在一起。因為如果個數相差超過了1，那麼必然必然導致一些黑點能聚集在一起，但是另一些黑點則隔著放，因為他們所在位置的奇偶性不能改變！

 

#include <iostream>using namespace std;inline int abs(int a ,int b){    return a-b > 0 ? a-b : b-a;}int main(){    int cas,n,a,b,x;    cin >> cas;    while(cas--)    {        cin >> n;        a = b = 0;        for(int i=1; i<=n; i++)        {            cin >> x;            if(x && i&1)         a++;            else if(x && !(i&1)) b++;        }        if(n&1 || abs(a,b)<=1) cout << "YES" << endl;        else                   cout << "NO" << endl;    }    return 0;}