POJ 1191 棋盤分割 （記憶化搜尋）__動態規劃

Description

將一個８*８的棋盤進行如下分割：將原棋盤割下一塊矩形棋盤並使剩下部分也是矩形，再將剩下的部分繼續如此分割，這樣割了(n-1)次後，連同最後剩下的矩形棋盤共有n塊矩形棋盤。(每次切割都只能沿著棋盤格子的邊進行)

原棋盤上每一格有一個分值，一塊矩形棋盤的總分為其所含各格分值之和。現在需要把棋盤按上述規則分割成n塊矩形棋盤，並使各矩形棋盤總分的均方差最小。

均方差 σ=∑ni=1(xi−x¯)2n−−−−−−−−−√ σ=\sqrt{\frac{\sum^n_{i=1}{(x_i-\overline{x})^2}}{n}} ，其中平均值 x¯=∑ni=1xin \overline{x}=\frac{\sum^n_{i=1}{x_i}}{n} ，xi為第i塊矩形棋盤的總分。

請編程對給出的棋盤及n，求出O’的最小值。

Input

第1行為一個整數n(1 < n < 15)。

第2行至第9行每行為8個小於100的非負整數，表示棋盤上相應格子的分值。每行相鄰兩數之間用一個空格分隔。

Output

僅一個數，為O’（四捨五入精確到小數點後三位）。

Sample Input

31 1 1 1 1 1 1 31 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 01 1 1 1 1 1 0 3

Sample Output

1.633

思路

首先對方差公式進行化簡，化簡之後為 σ2=∑ni=1x2in−x¯2 σ^2=\frac{\sum^n_{i=1}{x_i^2}}{n}-\overline{x}^2

然後使用dfs搜尋時進行切割， dp[x][y][a][b][k] 代表進行 n-k 次切割以後矩陣 (x,y)-(a,b) 分值和的平方。

因為平均數是定值，要使方差最小，只能讓各塊的和儘可能的小。

AC 代碼

#include<iostream>#include<algorithm>#include<stdio.h>#include<string.h>#include<math.h>#include<iostream>using namespace std;#include<queue>#include<map>#define INF (1<<25)int n,sum[10][10];int dp[10][10][10][10][16];int get(int x,int y,int a,int b){    return sum[a][b]-sum[a][y-1]-sum[x-1][b]+sum[x-1][y-1];}int dfs(int x,int y,int a,int b,int k){    if(dp[x][y][a][b][k]!=-1)return dp[x][y][a][b][k];  //記憶化搜尋    if(k==1)return (dp[x][y][a][b][k]=get(x,y,a,b)*get(x,y,a,b));   //返回當前塊的和的平方    int minn=INF;    for(int i=x; i<a; i++)  //水平切割    {        int l=get(x,y,i,b);        int r=get(i+1,y,a,b);        minn=min(minn,min(dfs(x,y,i,b,k-1)+r*r,dfs(i+1,y,a,b,k-1)+l*l));    }    for(int i=y; i<b; i++)  //垂直切割    {        int l=get(x,y,a,i);        int r=get(x,i+1,a,b);        minn=min(minn,min(dfs(x,y,a,i,k-1)+r*r,dfs(x,i+1,a,b,k-1)+l*l));    }    return (dp[x][y][a][b][k]=minn);}int main(){    while(~scanf("%d",&n))    {        int temp;        memset(sum,0,sizeof(sum));        memset(dp,-1,sizeof(dp));        for(int i=1; i<=8; i++)            for(int j=1; j<=8; j++)            {                scanf("%d",&temp);                sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+temp;   //從(1,1)到(i,j)地區和            }        double avi=sum[8][8]*1.0/n;        printf("%.3f\n",sqrt(dfs(1,1,8,8,n)*1.0/n-avi*avi));    }    return 0;}