POJ 1265 Pick定理

Pick 定理，1899年

設 Γ 為平面上以格子點為頂點之單純多邊形，則其面積為 

其中 b 為邊界上的格子點數，i 為內部的格子點數。(8)式叫做 Pick 公式。

/* *POJ 1265 *fuqiang *幾何,Pick定理 *2013/8/7*/#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <algorithm>#include <queue>using namespace std;#define INF 0x3f3f3f3fconst int maxn = 100+3;int Abs(int n){    return n>0?n:-n;}struct Point{    int x;    int y;}p[maxn];int gcd(int x, int y){    return y==0?x:gcd(y,x%y);}int grid_onedge(int n)  //線上上的格點{    int ret = 0;    for(int i = 0; i < n; i++)    {        ret += gcd(Abs(p[i].x-p[(i+1)%n].x), Abs(p[i].y-p[(i+1)%n].y));    }    return ret;}int grid_inside(int n)  {    int ret = 0;    for(int i = 0; i < n; i++)    {        ret += p[(i+1)%n].y * (p[i].x - p[(i+2)%n].x);    }    return Abs(ret);}int main(){#ifndef ONLINE_JUDGE    freopen("in","r",stdin);#endif    int T,Case = 1;    int n,a,b;    cin>>T;    while(T--)    {        cin>>n;        p[0].x = 0;        p[0].y = 0;        for(int i = 1; i <= n; i++)        {            cin>>a>>b;            p[i%n].x = p[i-1].x + a;            p[i%n].y = p[i-1].y + b;        }        int E = grid_onedge(n);        int I = (grid_inside(n)-E)/2+1;  //內部格點數        double A = E/2.0 + I -1;        printf("Scenario #%d:\n%d %d %.1f\n\n",Case++,I,E,A);    }    return 0;}

談求面積的 Pick 公式 （第
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1 其他的求面積公式 平面上的多邊形，有各式各樣的面積公式，端視所給的數據而定。除了本文所介紹的 Pick 公式之外，還有 Heron 公式與測量師公式，構成三足鼎立的求面積三個重要公式。

2 Heron 公式及其推廣 對於三角形的情形，如果已知三邊的長為 a,b,c，令 ，則其面積為  推廣到四邊形，有兩種情形(詳見參考資料11.蔡聰明，〈四邊形的面積〉，《數學傳播》第十七卷第三期 民國八十二年) (i)當四邊形的邊長為  a, b, c, d 且內接於一圓時，令 ，則其面積為  這叫做Brahmagupta公式。 (ii)對於任意四邊形，其面積為  其中 B 與 D 為四邊形一對的對角。這叫做 Bretschneider 公式。值得注意的是，要再推廣到五邊形以上，就行不通了。

3 測量師公式 (A Surveyor's Formula) 一個  n 邊形  A1,  A2,…, A n，其頂點按逆時針方向來配置並且坐標為  A k=( x k, y k)， k=1,2,…, n，則面積為  其中規定 xn+1=x1，且 yn+1=y1。 在上述三類公式中，要以測量師公式最具推廣潛力，因為它可以「連續化」。例如： 平面上逆時針方向的封閉曲線 x=x(t), y=y(t), ，所圍成領域的面積為：  若再推廣，就得到著名的 Green 定理，而溶匯入微積分的數學主流。這好像是一條大河，一路上匯集各支流，最後終於流入大海 。