POJ 1837 01背包變種

題目地址在：http://poj.org/problem?id=1837

做這個題目的開始，真的還沒有什麼思路，即使有人說是０１背包，不過依然不知道如何將問題裝換成０１背包的模型。

在比較經典的背包問題中，一般會有一些物品，物品用(Wi, Vi)組成，Wi表示其重量，Vi表示其價值。 然後給一個容量固定的背包，然後選擇物品，達到價值最大這個目標。

1. 當物品可以分割的時候，貪心演算法

2. 當物品只有一件的時候，是01背包

3. 當物品有無數件的時候，是完全背包

4. 當物品有固定件的時候，是部分背包

這個題目的描述如下：

有一個天平，天平上有若干的掛鈎，給你若干的砝碼，求有多少種方法，可以讓天平平衡。

這個題目我讀了半天才搞明白什麼意思。 用圖一下子就明白了。

天平上的鉤子，就是紅點所示的東東，而砝碼就是綠色的東東。 這裡可能利用到一些物理知識， 天平平衡條件應該是

∑ wi * di = ∑ wj * dj。

其中i表示左側的組合，j表示右側，w表示各自重量，di表示到天平中心的距離。 

力矩 = 力 * 力臂，這樣依據平衡狀態而得到的 DP 方程如下。

DP[i] [j + weights[i-1]*armLen[k]] += DP[i-1][j]; 

也等價於             

                                        DP[i] [j] += DP[i-1][j - weights[i-1]*armLen[k]]; 

現在我們描述所有力矩的狀態，dp[i][j] 表示當我們放完了第 i 個砝碼的時候，力矩是 j 的所有放法數。

如果直接用 j 會出現問題，因為左力矩是負的，不過我們可以找出一個比較大的數，將所有狀態 j 加上這個數，就得到一個非負數的狀態。

我們這裡 砝碼最大 25， 鉤子最遠是 15， 最多有20 個砝碼。可知 最大的狀態應該是 [-7500, 7500], 所有我們可以將每個狀態加上 7500， 將狀態變成 [0, 15000]. 

Source CodeProblem: 1837User: hopeztmMemory: 780KTime: 47MSLanguage: C++Result: AcceptedSource Code#include <stdio.h>#include <memory.h>#define MAX_STATUS 7500#define MAX_NUM 21int armLen[MAX_NUM];int weights[MAX_NUM];int nArm, nWeight;int DP[MAX_NUM][MAX_STATUS];int main(){int i,j; while(scanf("%d%d", &nArm, &nWeight) != EOF){memset(DP, 0, sizeof(DP));                //input for( i = 0; i < nArm; i++){scanf("%d", armLen + i);    }int weightSum = 0;for( i = 0; i < nWeight; i++){scanf("%d", weights + i);weightSum += weights[i];}                //get max and min status IDconst int maxStatus = armLen[nArm - 1] * weightSum;const int minStatus = armLen[0] * weightSum;DP[0][MAX_STATUS] = 1; // if we put 0 weight, and the balanced is balancedfor( i = 1; i <= nWeight; i++) // for all weights{for( j = minStatus; j <= maxStatus; j++){for( int k = 0; k < nArm ; k++){DP[i][j + weights[i-1]*armLen[k] + MAX_STATUS] += DP[i-1][j + MAX_STATUS]; }}}printf("%d\n", DP[nWeight][MAX_STATUS]);}return 0;}