POJ 2195 Going Home (二分圖最大權匹配、KM演算法）

題意：給你一張圖，圖上有n個人和n座房子，每個人需要回到一所房子，要求路程之和最小。
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mmmHmmmm
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題解：其實題目是求最小帶權匹配，怎麼化成求最大帶權匹配呢？方法一可以將每個值取相反數。方法二用上界減去各個值。

基本原理

　　該演算法是通過給每個頂點一個標號（叫做頂標）來把求最大權匹配的問題轉化為求完備匹配的問題的。設頂點Xi的頂標為A[ i ]，頂點Yj的頂標為B[ j ]，頂點Xi與Yj之間的邊權為w[i,j]。在演算法執行過程中的任一時刻，對於任一條邊(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始終成立。

　　KM演算法的正確性基於以下定理：

　　若由二分圖中所有滿足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的邊(i,j)構成的子圖（稱做相等子圖）有完備匹配，那麼這個完備匹配就是二分圖的最大權匹配。

　　首先解釋下什麼是完備匹配，所謂的完備匹配就是在二部圖中，X點集中的所有點都有對應的匹配或者是

　　Y點集中所有的點都有對應的匹配，則稱該匹配為完備匹配。

　　這個定理是顯然的。因為對於二分圖的任意一個匹配，如果它包含於相等子圖，那麼它的邊權和等於所有頂點的頂標和；如果它有的邊不包含於相等子圖，那麼它的邊權和小於所有頂點的頂標和。所以相等子圖的完備匹配一定是二分圖的最大權匹配。

　　初始時為了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]為所有與頂點Xi關聯的邊的最大權，B[j]=0。如果當前的相等子圖沒有完備匹配，就按下面的方法修改頂標以使擴大相等子圖，直到相等子圖具有完備匹配為止。

　　我們求當前相等子圖的完備匹配失敗了，是因為對於某個X頂點，我們找不到一條從它出發的交錯路。這時我們獲得了一棵交錯樹，它的葉子結點全部是X頂點。現在我們把交錯樹中X頂點的頂標全都減小某個值d，Y頂點的頂標全都增加同一個值d，那麼我們會發現：

　　1）兩端都在交錯樹中的邊(i,j)，A[ i ]+B[j]的值沒有變化。也就是說，它原來屬於相等子圖，現在仍屬於相等子圖。

　　2）兩端都不在交錯樹中的邊(i,j)，A[ i ]和B[j]都沒有變化。也就是說，它原來屬於（或不屬於）相等子圖，現在仍屬於（或不屬於）相等子圖。

　　3）X端不在交錯樹中，Y端在交錯樹中的邊(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原來不屬於相等子圖，現在仍不屬於相等子圖。

　　4）X端在交錯樹中，Y端不在交錯樹中的邊(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所減小。也就說，它原來不屬於相等子圖，現在可能進入了相等子圖，因而使相等子圖得到了擴大。

　　現在的問題就是求d值了。為了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始終成立，且至少有一條邊進入相等子圖，d應該等於：

　　Min{A[ i ]+B[j]-w[i,j] | Xi在交錯樹中，Yi不在交錯樹中}。

改進：

　　以上就是KM演算法的基本思路。但是樸素的實現方法，時間複雜度為O(n^4)——需要找O(n)次增廣路，每次增廣最多需要修改O(n)次頂標，每次修改頂標時由於要枚舉邊來求d值，複雜度為O(n^2)。實際上KM演算法的複雜度是可以做到O(n^3)的。我們給每個Y頂點一個“鬆弛量”函數slack，每次開始找增廣路時初始化為無窮大。在尋找增廣路的過程中，檢查邊(i,j)時，如果它不在相等子圖中，則讓slack[j]變成原值與A[ i ]+B[j]-w[i,j]的較小值。這樣，在修改頂標時，取所有不在交錯樹中的Y頂點的slack值中的最小值作為d值即可。但還要注意一點：修改頂標後，要把所有的不在交錯樹中的Y頂點的slack值都減去d。

　　Kuhn－Munkras演算法流程：

　　(1)初始化可行頂標的值；

　　(2)用匈牙利演算法尋找完備匹配；

　　(3)若未找到完備匹配則修改可行頂標的值；

　　(4)重複(2)(3)直到找到相等子圖的完備匹配為止；

#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;#define MAX 105#define INF 9999999struct House { int r, c; } house[MAX];struct Man { int r, c; } man[MAX];int H, M, n, m;int A[MAX], B[MAX];int visA[MAX], visB[MAX];int match[MAX], slack[MAX], map[MAX][MAX];bool find_path ( int i ){visA[i] = true;for ( int j = 0; j < H; j++ ){if ( !visB[j] && A[i] + B[j] == map[i][j] ){visB[j] = true;if (match[j] == -1 || find_path(match[j])){match[j] = i;return true;}}else if ( A[i] + B[j] > map[i][j] ) //j屬於B，且不在交錯路徑中slack[j] = min(slack[j], A[i]+B[j]-map[i][j]);}return false;}void KM (){    int i, j, d;    memset(A,0,sizeof(A));    memset(B,0,sizeof(B));    memset(match,-1,sizeof(match));    for ( i = 0; i < M; i++ )        for ( j = 0; j < H; j++ )            A[i] = max (map[i][j], A[i]);    for ( i = 0; i < M; i++ )    {        for ( j = 0; j < H; j++ )            slack[j] = INF;        while ( 1 )        {            memset(visA,0,sizeof(visA));            memset(visB,0,sizeof(visB));            if ( find_path ( i ) ) break; //從i點出發找到交錯路徑則跳出迴圈            for ( d = INF, j = 0; j < H; j++ ) //取最小的slack[j]                if (!visB[j] && d > slack[j]) d = slack[j];            for ( j = 0; j < M; j++ ) //集合A中位於交錯路徑上的-d                if ( visA[j] ) A[j] -= d;            for ( j = 0; j < H; j++ ) //集合B中位於交錯路徑上的+d                if ( visB[j] ) B[j] += d;                else slack[j] -= d; //注意修改不在交錯路徑上的slack[j]        }    }}int main(){    char s[MAX];int i, j, res;while ( scanf("%d%d",&n,&m) ){    if ( !m && !n ) break;H = M = res = 0;for ( i = 0; i < n; i++ ){scanf("%s",s);for ( j = 0; j < m; j++ ){if ( s[j] == 'H' )                    house[H].r = i, house[H++].c = j;else if ( s[j] == 'm' )man[M].r = i, man[M++].c = j;}}for ( i = 0; i < M; i++ ) //求最小帶權匹配可以將權值改為負數for ( j = 0; j < H; j++ )map[i][j] = -(abs(man[i].r-house[j].r) + abs(man[i].c-house[j].c));        KM();for ( j = 0; j < H; j++ )res -= map[match[j]][j];printf("%d\n",res);}return 0;}