POJ 3090 Visible Lattice Points 法雷級數

題意：從原點看第一象限裡的所有點，能直接看到的點的數目是多少。（不包含原點）

 

法雷級數定義　　R.亨斯貝爾格著李忠翻譯的《數學中的智巧》一書，介紹了法雷級數。這裡每一行從0/1開始，以1/1結尾，其它數自左至右將所有的真分數按增加順序排列；第n行是由所有分母小於或等於n的真分數組成，我們稱為n階法雷級數。如下表：

　　F1： 0/1 1/1

　　F2： 0/1 1/2 1/1

　　F3： 0/1 1/3 1/2 2/3 1/1

　　F4： 0/1 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1/1

　　F5： 0/1 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1/1

　　F6：0/1 1/6 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 5/6 1/1

　　…… ………………………………

　　這裡我們想問的是第n行Fn的真分數的個數有多少個呢？

　　我們設Fn的個數為ψ(n), ψ(n)比 ψ(n-1)增加的個數是分母是n，分子比n小且與n互質的數的個數，這正是歐拉函數φ（n）。即

　　ψ(n)=ψ(n-1)+ φ（n）

　　ψ（1）=1+φ（1）

　　ψ（2）=ψ（1）+φ（2）

　　ψ（3）=ψ（2）+φ（3）

　　………………

　　ψ(n)= ψ(n-1)+ φ（n）

　　所以 ψ(n)=1+φ（1）+φ（2）+φ（3）+……+φ（n）很容易證明，當n≥3時，歐拉函數φ（n）是個偶數。由此我們得到除ψ（1）=2是偶數外，法雷級數其它各級的個數都是奇數，並且許多是素數。ψ（1）=2，ψ（2）=3，ψ（3）=5，ψ（4）=7，ψ（5）=11，ψ（6）=13，ψ（7）=19，ψ（8）=23，ψ（9）=29，……。

性質

　　法雷級數Fn具有很多美妙的性質，下面是一些常見的性質：

　　1.如果a/b,c/d是相鄰的兩項，則abs（a*d-b*c）=1。

　　2.如果a/b,c/d,e/f是相鄰的三項，則 (a+e)/(b+f)=c/d，特別的，如果c/d是新添加的，即c/d不屬於F（n-1），則c=a+e；d=b+f。

　　性質2對於這個問題至關重要，它的證明可以參見哈代(Hardy)寫的數論導引第三章

　　關於Farey級數的介紹。根據這條性質可以知道，叢F（n−1）到F（n）的構造過程中，F（n）的新項的分母一定是其相領兩項的分母和。另一方面，如果F（n−1）中的相鄰兩項 a/b,c/d, b+d=n,則(a+c)/n一定會被添加到F（n）中。

 

#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;#define MAX 1009int p[MAX], a[MAX], pn;int eul[MAX];void prime(){    pn = 0;    memset(a,0,sizeof(a));    int i, j;    for ( i = 2; i < MAX; i++ )    {        if ( a[i] == 0 ) p[pn++] = i;        for ( j = 0; j < pn && i * p[j] < MAX && (p[j] <= a[i] || a[i] == 0); j++ )            a[i*p[j]] = p[j];    }}void Euler_Farey (){    for ( int i = 2; i < MAX; i++ )    {        if ( a[i] == 0 )            eul[i] = i - 1;        else        {            int k = i / a[i];            if ( k % a[i] == 0 ) eul[i] = eul[k] * a[i];            else eul[i] = eul[k] * ( a[i] - 1 );        }    }    eul[1] = 1;    for ( int i = 2; i < MAX; i++ )        eul[i] += eul[i-1];}int main(){    int n, t;    prime();    Euler_Farey();    scanf("%d",&t);    for ( int i = 1; i <= t; i++ )    {        scanf("%d",&n);        printf("%d %d %d\n",i,n,eul[n]*2+1);    }    return 0;}