POJ 3372 Candy Distribution 完全剩餘系/奇偶性

題意：老師給N個學生髮糖，第x次發糖發給編號為 f(x) 的學生。可以推知：f(x) = x * (x+1) / 2 % N（學生號為 0, 1, 2, 3, ```N-1 ）

現在問你是否每個學生都能得到至少一顆糖。

題解：要使每個學生都至少得到一顆糖，那麼f(x) 應該構成模N的完全剩餘系。

那麼這個問題的反面就是在什麼情況下，f(x) 不能構成模N的完全剩餘系。

我們知道若存在 x != y, 使得 f(x) = f(y)，那麼f(x)邊不能構成模N的完全剩餘系。

若f(x)  = f(y)， 推出 x * (x+1) / 2 % N = y * (y+1) / 2 % N,  推出 (x+y+1)(x-y) / 2 = 0 % N

這樣可以假設 N^t = (x+y+1)(x-y)/2，於是這個等式成立的條件便是f(x) = f(y)成立的條件。

下面我們具體分析：

首先給出兩個顯而易見的結論：

(1).任意一個偶數都可以表示成 b * 2^e 的形式（b為奇數）

(2).(x+y+1)與(x-y)中必定一個是偶數一個是奇數

假如 N^t = (x+y+1)(x-y)/2

1.若N是奇數，那麼N^t 還是奇數，於是我們一定可以找到適當的x,y,t使得 (x+y+1)(x-y)/2 = N^t，例如令 x = y + 2， 得 y + 3 = N^t，

得 y = N^t - 3。 所以在這種情況下f(x)  = f(y)，不能構成完全剩餘系。

2.若N是2的冪，令N=2^e,  那麼N^t = 2^(e*t) 為偶數，而(x+y+1)(x-y)/2是奇數，顯然不可能存在x,y,t使得 N^t = (x+y+1)(x-y)/2。所以在這種情況下f(x)
 != f(y) 可以構成完全剩餘系。

3.若N是形如 b * 2^e 的偶數，那麼 N^t = b^t * 2^(e*t)。 

令(x+y+1) = b^t， (x-y)/2 = 2^(e*t)

即(x+y+1) = b^t     //一式

    (x-y) = 2^(e*t+1)   //二式

解一式二式構成的方程組，得到 2x =
2^(e*t+1) + b^t - 1，左右均為偶數，顯然x是有解的，那麼y也是有解的。所以在這種情況下f(x)  = f(y)，不能構成完全剩餘系。

注意上面的式子並不是一般的式子，我們只是用它們來判斷存在性，由 N^t = (x+y+1)(x-y)/2這一假設引出的，是由結果到原因的推導，並不能隨意的求解。例如 2x
= 2^(e*t+1) + b^t - 1，假如一邊是奇數，一邊是偶數，那麼x顯然是無解的。

#include<cstdio>int main(){    int n;    while ( scanf("%d",&n) != EOF )    {        if ( n & ( n - 1 )) printf("NO\n"); //這個方式判斷n是否是2的冪，還是蠻巧妙的。        else printf("YES\n");    }    return 0;}