POJ 並查集 題目匯總 ——czyuan原創

繼續資料結構的複習，本次的專題是：並查集。
      並查集，顧名思義，乾的就是“並”和“查”兩件事。很多與集合相關的操作都可以用並查集高效的解決。
       兩個作業碼：
       int Find(int x)
       {
          if (tree[x].parent != x)
          {
              tree[x].parent = Find(tree[x].parent);
          }
          return tree[x].parent;
       }
       void Merge(int a, int b, int p, int q, int d)
       {
          if (tree[q].depth > tree[p].depth) tree[p].parent = q;
          else
          {
              tree[q].parent = p;
              if (tree[p].depth == tree[q].depth) tree[p].depth++;
          }
       }
       其中Find()函數用了路徑壓縮最佳化，而Merge()函數用了啟發學習法合并的最佳化(個人感覺有了路徑壓縮，啟發學習法合并最佳化的效果並不明顯，而經常因為題目和代碼的限制，啟發學習法合并會被我們省略)。
       提到並查集就不得不提並查集最經典的例子：食物鏈。
       POJ 1182 食物鏈
       http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1182
       題目告訴有3種動物，互相吃與被吃，現在告訴你m句話，其中有真有假，叫你判斷假的個數(如果前面沒有與當前話衝突的，即認為其為真話)
這題有幾種做法，我以前的做法是每個集合(或者稱為子樹，說集合的編號相當於子樹的根結點，一個概念)中的元素都各自分為A, B, C三類，在合并時更改根結點的種類，其他點相應更改位移量。但這種方法公式很難推，特別是位移量很容易計算錯誤。
下面來介紹一種通用且易於理解的方法：
首先，集合裡的每個點我們都記錄它與它這個集合(或者稱為子樹)的根結點的相對關係relation。0表示它與根結點為同類，1表示它吃根結點，2表示它被根結點吃。
那麼判斷兩個點a, b的關係，我們令p = Find(a), q = Find(b)，即p, q分別為a, b子樹的根結點。
       1. 如果p != q，說明a, b暫時沒有關係，那麼關於他們的判斷都是正確的，然後合并這兩個子樹。這裡是關鍵，如何合并兩個子樹使得合并後的新樹能保證正確呢？這裡我們規定只能p合并到q(剛才說過了，啟發學習法合并的最佳化效果並不那麼明顯，如果我們用啟發學習法合并，就要推出兩個式子，而這個推式子是件比較累的活...所以一般我們都規定一個子樹合到另一個子樹)。那麼合并後，p的relation肯定要改變，那麼改成多少呢？這裡的方法就是找規律，列出部分可能的情況，就差不多能推出式子了。這裡式子為 : tree[p].relation
= (tree[b].relation - tree[a].relation + 2 + d) % 3; 這裡的d為判斷語句中a, b的關係。還有個問題，我們是否需要遍曆整個a子樹並更新每個結點的狀態呢？答案是不需要的，因為我們可以在Find()函數稍微修改，即結點x繼承它的父親(注意是前父親，因為路徑壓縮後父親就會改變)，即它會繼承到p結點的改變，所以我們不需要每個都遍曆過去更新。
       2. 如果p = q，說明a, b之前已經有關係了。那麼我們就判斷語句是否是對的，同樣找規律推出式子。即if ( (tree[b].relation + d + 2) % 3 != tree[a].relation ), 那麼這句話就是錯誤的。
       3. 再對Find()函數進行些修改，即在路徑壓縮前紀錄前父親是誰，然後路徑壓縮後，更新該點的狀態(通過繼承前父親的狀態，這時候前父親的狀態是已經更新的)。
       核心的兩個函數為：
       int Find(int x)
       {
           int temp_p;
          if (tree[x].parent != x)
          {
              // 因為路徑壓縮，該結點的與根結點的關係要更新(因為前面合并時可能還沒來得及更新).
              temp_p = tree[x].parent;
              tree[x].parent = Find(tree[x].parent);
              // x與根結點的關係更新(因為根結點變了)，此時的temp_p為它原來子樹的根結點.
              tree[x].relation = (tree[x].relation + tree[temp_p].relation) % 3;
          }
          return tree[x].parent;
       }
       void Merge(int a, int b, int p, int q, int d)
       {
          // 公式是找規律推出來的.
          tree[p].parent = q; // 這裡的下標相同，都是tree[p].
          tree[p].relation = (tree[b].relation - tree[a].relation + 2 + d) % 3;
       }
       而這種紀錄與根結點關係的方法，適用於幾乎所有的並查集判斷關係(至少我現在沒遇到過不適用的情況…可能是自己做的還太少了…)，所以向大家強烈推薦～～
       搞定了食物鏈這題，基本POJ上大部分基礎並查集題目就可以順秒了，這裡僅列個題目編號: POJ 1308 1611 1703 1984 1986(LCA Tarjan演算法 + 並查集) 1988 2236 2492 2524。
       下面來講解幾道稍微提高點的題目:
       POJ 1456 Supermarket
       http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1456
       這道題貪心的思想很明顯，不過O(n^2)的複雜度明顯不行，我們可以用堆進行最佳化，這裡講下並查集的最佳化方法(很巧妙)。我們把連續的被佔用的區間看成一個集合(子樹)，它的根結點為這個區間左邊第一個未被佔用的區間。
先排序，然後每次判斷Find(b[i])是否大於0，大於0說明左邊還有未被佔用的空間，則佔用它，然後合并(b[i], Find(b[i]) – 1)即可。同樣這裡我們規定只能左邊的子樹合并到右邊的子樹(想想為什麼～～)。
       POJ 1733 Parity game
       http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1733
       這題同樣用類似食物鏈的思想。
首先我們先離散化，因為原來的區間太大了(10^9)，我們可以根據問題數目離散成(10^4)。我們要理解，這裡的離散化並不影響最終的結果，因為區間裡1的奇偶個數與區間的大小無關(這句話有點奇怪，可以忽略...)，然後每次輸入a, b，我們把b++，如果他倆在一個集合內，那麼區間[a, b]裡1的個數相當於b.relation ^ a.relation，判斷對錯即可。如果不在一個集合內，合并集合(這裡我們規定根結點小的子樹合并根結點大的，所以要根據不同情況推式子)，修改子樹的根結點的狀態，子樹的其他結點狀態通過Find()函數來更新。
       hdu 3038 How Many Answers Are Wrong
       http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3038
       上面那題的加強版，不需要離散化，因為區間的和與區間的大小有關(和上面的那句話對比下，同樣可以忽略之…)，做法與上面那題差不多，只是式子變了，自己推推就搞定了。但這題還有個條件，就是每個點的值在[0, 100]之間，那麼如果a, b不在一個子樹內，我們就合并，但在合并之前還要判斷合并後會不會使得區間的和不合法，如果會說明該合并是非法的，那麼就不合并，同樣認為該句話是錯誤的。
       POJ 1417 True Liars(難)
       http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1417
       並查集 + DP(或搜尋)。
       題目中告訴兩種人，一種只說真話，一種只說假話。然後告訴m條語句，問是否能判斷哪些人是只說真話的那類人。
       其實並查集部分跟食物鏈還是相似，而且種類變少了一種，更容易了。我們可以通過並查集把有關係的一些人合并到一個集合內(具體方法參見食物鏈講解)。
       現在的問題轉化為，有n個集合，每個集合都有a, b連個數字，現在要求n個集合中各跳出一個數(a或者b)，使得他們之和等於n1(說真話的人數)。而這個用dp可以很好的解決，用f[i][j]表示到第i個集合和為j個的情況數，我們還用過pre[i][j]記錄當前選的是a還是b，用於後面判斷狀態。方程為f[i][j] = f[i – 1][j – a] + f[i – 1][j – b], j >= a, j >= b。如果最後f[n][n1] == 1說明是唯一的情況，輸出該情況，否則輸出 “no”(多解算no)
       注意點 : 
       1. 這題的m, n1, n2都有可能出現0，可以特殊處理，也可以一起處理。
       2. 按上面的dp寫法，f[i][j]可能會很大，因為n可以達到三位元。其實我們關心的只是f[i][j] 等於0，等於1，大於1三種情況，所以當f[i][j] > 1時，我們都讓它等於2即可。
       POJ 2912 Rochambeau(難)
       http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2912
       Baidu Star 2006 Preliminary的題目，感覺出的很好，在並查集題目中算是較難的了。其實這題跟食物鏈完全一個磨子，同樣三類食物，同樣的互相制約關係。所以食物鏈代碼拿過來改都不需要改。但這題有個judge，他可以出任意手勢。於是我們的做法是，枚舉每個小孩為judge，判斷他為judge時在第幾句話出錯err[i](即到第幾句話能判斷該小孩不是judge)。
       1. 如果只有1個小孩是judge時全部語句都是正確的，說明該小孩是judge，那麼判斷的句子數即為其他小孩的err[i]的最大值。如果
       2. 如果每個小孩的都不是judge(即都可以找到出錯的語句)，那麼就是impossible。
       3. 多於1個小孩是judge時沒有找到出錯的語句，就是Can not determine。

        ZOJ 3261 Connections in Galaxy War
        http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=3563
        nuaa 1087 聯通or不連通
        http://acm.nuaa.edu.cn/acmhome/problemdetail.do?&method=showdetail&id=1087
        兩題做法差不多，都是反過來的並查集題目，先對邊集排序，然後把要刪去的邊從二分在邊集中標記。然後並查集串連沒有標記的邊集，再按查詢反向做就可。第一題合并結點時按照題目要求的優先順序合并即可。
　   

       這裡介紹的並查集題目，主要都是處理些集合之間的關係(這是並查集的看家本領～～)，至於並查集還有個用處就在求最小產生樹的Kruskal演算法中，那個是圖論中求最小產生樹的問題(一般這個痛點不在於並查集，它只是用於求最小產生樹的一種方法)，就不在這裡贅述了～～

轉載自：http://hi.baidu.com/czyuan_acm/item/13cbd3258c29e20d72863edf