POJ1061——青蛙的約會(擴充歐幾裡德)

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青蛙的約會

Description
兩隻青蛙在網上相識了，它們聊得很開心，於是覺得很有必要見一面。它們很高興地發現它們住在同一條緯度線上，於是它們約定各自朝西跳，直到碰面為止。可是它們出發之前忘記了一件很重要的事情，既沒有問清楚對方的特徵，也沒有約定見面的具體位置。不過青蛙們都是很樂觀的，它們覺得只要一直朝著某個方向跳下去，總能碰到對方的。但是除非這兩隻青蛙在同一時間跳到同一點上，不然是永遠都不可能碰面的。為了協助這兩隻樂觀的青蛙，你被要求寫一個程式來判斷這兩隻青蛙是否能夠碰面，會在什麼時候碰面。
我們把這兩隻青蛙分別叫做青蛙A和青蛙B，並且規定緯度線上東經0度處為原點，由東往西為正方向，單位長度1米，這樣我們就得到了一條首尾相接的數軸。設青蛙A的出發點座標是x，青蛙B的出發點座標是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，兩隻青蛙跳一次所花費的時間相同。緯度線總長L米。現在要你求出它們跳了幾次以後才會碰面。
Input
輸入只包括一行5個整數x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output
輸出碰面所需要的跳躍次數，如果永遠不可能碰面則輸出一行"Impossible"
Sample Input
1 2 3 4 5
Sample Output
4

題目大意：

　　　　中文。

解題思路：

　　　　擴充歐幾裡德應用:求方程Ax+By=C的一組解(x0,y0)。 

　　　　由題意可得方程：

　　　　　　x+mt=y+nt+CL

　　　　--> x-y=(n-m)t+CL 且 (x-y),(n-m),L已知.就是求滿足方程的最小正整數解t。

　　　　結論：設a,b,c為任意整數。若方程ax+by=c的一組整數解為(x0，y0)，則它的任意整數解都可以寫成(x0+kb‘,y0-ka‘),其中a‘=a/gcd(a，b)，b‘=b/gcd(a，b)，k為任意整數。

　　　　推論：設其中x0為所有整數解中最接近零的解，設用exgcd()解出來的解為x1。則x0=x1%b‘=x1%(b/gcd(a,b))

　　　　　　　若x0非負，x0即為最小正整數解；若求出的x0為負數，這x0+b‘為最小正整數解。

　　　　PS：資料很大 需要使用longlong

Code：

 1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #define MAXN 10000 4 #define LL long long 5 using namespace std; 6 LL extended_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) //傳回值為gcd(a,b) 7 { 8     LL ret,tmp; 9     if (b==0)10     {11         x=1,y=0;12         return a;13     }14     ret=extended_gcd(b,a%b,x,y);15     tmp=x;16     x=y;17     y=tmp-a/b*y;18     return ret;19 }20 int main()21 {22     LL x,y,m,n,L;23     while (scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&x,&y,&m,&n,&L)!=EOF)24     {25         LL a=m-n,b=L,c=y-x;26         if (a<0) a=n-m,c=x-y;27         LL re1,re2;28         LL d=extended_gcd(a,b,re1,re2);29         LL r1=c*re1/d;30         LL r2=c*re2/d;31         if (r1*d!=c*re1||r2*d!=c*re2) //c若不是gcd(a,b)的整數倍，則無解。32             printf("Impossible\n");33         else34         {35             r1=r1%(L/d);  //求最小正整數解36             if (r1<0) r1+=L/d;37             printf("%lld\n",r1);38         }39     }40     return 0;41 }