poj2481-樹狀數組

這裡就是求區間覆蓋問題，如果你的區間完全覆蓋它的，那麼你就比他強壯。求出比自己強壯的牛數。

 

樹狀數組：

樹狀數組是一個查詢和修改複雜度都為log(n)的資料結構，假設數組a[1..n]，

 

用lowbit函數維護了一個樹的結構

那麼查詢a[1]+...+a[n]的時間是log層級的，而且是一個線上的資料結構，

　　支援隨時修改某個元素的值，複雜度也為log層級。

　　來觀察這個圖：

　　令這棵樹的結點編號為C1，C2...Cn。令每個結點的值為這棵樹的值的總和，那麼容易發現：

　　C1 = A1

　　C2 = A1 + A2

　　C3 = A3

　　C4 = A1 + A2 + A3 + A4

　　C5 = A5

　　C6 = A5 + A6

　　C7 = A7

　　C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

　　...

　　C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

　　這裡有一個有趣的性質：

　　設節點編號為x，那麼這個節點管轄的區間為2^k（其中k為x二進位末尾0的個數）個元素。因為這個區間最後一個元素必然為Ax，

　　所以很明顯：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

　　算這個2^k有一個快捷的辦法，定義一個函數如下即可：

　　int lowbit(int x){

　　return x&(x^(x–1));

　　}

　　當想要查詢一個SUM(n)(求a[n]的和），可以依據如下演算法即可：

　　step1:　令sum = 0，轉第二步；

　　step2:　假如n <= 0，演算法結束，返回sum值，否則sum = sum + Cn，轉第三步；

　　step3: 令n = n – lowbit(n)，轉第二步。

　　可以看出，這個演算法就是將這一個個區間的和全部加起來，為什麼是效率是log(n)的呢？以下給出證明：

　　n = n – lowbit(n)這一步實際上等價於將n的二進位的最後一個1減去。而n的二進位裡最多有log(n)個1，所以查詢效率是log(n)的。

　　那麼修改呢，修改一個節點，必須修改其所有祖先，最壞情況下為修改第一個元素，最多有log(n)的祖先。

　　所以修改演算法如下（給某個結點i加上x）：

　　step1: 當i > n時，演算法結束，否則轉第二步；

　　step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)轉第一步。

　　i = i +lowbit(i)這個過程實際上也只是一個把末尾1補為0的過程。

　　對於數組求和來說樹狀數組簡直太快了!

代碼：

注意這裡下排序，按照s，e中的e從大到小，如果e相等-s從小到大排序。這樣，比自己強壯的只能是前面的，而數組數組只需要記錄起始點就可以了。注意區間相同的話就是實力相當不能計算在內。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#define nMax 100010#define Max(a,b) (a>b?a:b)#define Min(a,b) (a<b?a:b)struct COW{int s,e,id;}cow[nMax];int ans[nMax];int cnt[nMax];int maxN = -1;//比較函數，按照e從大到小，s從小到大int cmp(const void * a, const void * b){struct COW *c = (struct COW *)a;struct COW *d = (struct COW *)b;if (c->e == d->e){return c->s - d->s;}elsereturn d->e - c->e;}//樹狀數組的三個函數，一個是求x的最後一個1的位置，在某一位置增加一個數，求出num以前的所有數的和這三個函數int lowbit(int x){return x&(x^(x - 1));}void add(int pos){while (pos <= maxN + 1){ans[pos] ++;pos += lowbit(pos);}}int sum(int num){int sum = 0;while (num > 0){sum += ans[num];num -= lowbit(num);}return sum;}int main(){int n;while (scanf("%d", &n) && n){maxN = -1;for (int i = 1; i <= n; ++ i){scanf("%d %d", &cow[i].s, &cow[i].e);cow[i].id = i;maxN = Max(maxN, cow[i].e);}memset(ans, 0, sizeof(ans));qsort(cow + 1, n, sizeof(cow[0]), cmp);for (int i = 1; i <= n; ++ i){if (cow[i].s == cow[i - 1].s && cow[i].e == cow[i - 1].e)//相等的話，不計算在內{cnt[cow[i].id] = cnt[cow[i - 1].id];}else//否則可以求出覆蓋本區間的所有牛的個數，由於排序，只能在前面cnt[cow[i].id] = sum(cow[i].s + 1);add(cow[i].s + 1);//將本區間的起始點加入到樹狀數組中}for (int i = 1; i < n; ++ i){printf("%d ", cnt[i]);}printf("%d\n", cnt[n]);}return 0;}