背包問題初步入門–背包1

引言：對背包是又愛又恨，代碼看的懂，但是並不代表你就掌握了背包，做過題的都知道，建模是應該是有難度的！所以正在為背包頭疼的同學加油，毅力能戰勝一切喲。

 

動態規劃是用空間換時間的一種方法的抽象。其關鍵是發現子問題和記錄其結果。然後利用這些結果減輕運算量。
比如01背包問題。

/* 一個旅行者有一個最多能用M公斤的背包，現在有N件物品，
它們的重量分別是W1，W2，...,Wn,
它們的價值分別為P1,P2,...,Pn.
若每種物品只有一件求旅行者能獲得最大總價值。
輸入格式：
M,N
W1,P1
W2,P2
......
輸出格式： 
X 
*/

因為背包最大容量M未知。所以，我們的程式要從1到M一個一個的試。比如，開始任選N件物品的一個。看對應M的背包，能不能放進去，如果能放進去，並且還有多的空間，則，多出來的空間裡能放N-1物品中的最大價值。怎麼能保證總選擇是最大價值呢？看下錶。
測試資料：
10,3
3,4
4,5
5,6

看懂這個表格就搞懂了方程式，背包的初步模型，x軸代表遞增的容量，y軸代表物品的個數，裡面黃色的部分代表所獲得的價值。此表格對應代碼看，相信你會很容易看懂的。

c[i][j]數組儲存了1,2,3號物品依次選擇後的最大價值.

這個最大價值是怎麼得來的呢?從背包容量為0開始,1號物品先試,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量為3則裡面放4.這樣,這一排背包容量為4,5,6,....10的時候，最佳方案都是放4.假如1號物品放入背包.則再看2號物品.當背包容量為3的時候，最佳方案還是上一排的最價方案c為4.而背包容量為5的時候，則最佳方案為自己的重量5.背包容量為7的時候，很顯然是5加上一個值了。加誰??很顯然是7-4=3的時候.上一排 c3的最佳方案是4.所以。總的最佳方案是5+4為9.這樣.一排一排推下去。最右下放的資料就是最大的價值了。(注意第3排的背包容量為7的時候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.說明這時候3號物品沒有被選.選的是1,2號物品.所以得9.)

從以上最大價值的構造過程中可以看出。

f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}這就是書本上寫的動態規劃方程.這回清楚了嗎?

下面是實際程式:

#include<stdio.h>
int c[10][100];/*對應每種情況的最大價值*/
int knapsack(int m,int n)
{
 int i,j,w[10],p[10];
 for(i=1;i<n+1;i++)
        scanf("/n%d,%d",&w[i],&p[i]);
 for(i=0;i<10;i++)
      for(j=0;j<100;j++)
           c[i][j]=0;/*初始化數組*/
 for(i=1;i<n+1;i++)
      for(j=1;j<m+1;j++)
           {
            if(w[i]<=j) /*如果當前物品的容量小於背包容量*/
                     {
                      if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])

                           /*如果本物品的價值加上背包剩下的空間能放的物品的價值*/

                         /*大於上一次選擇的最佳方案則更新c[i][j]*/
                            c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];
                            else
                            c[i][j]=c[i-1][j];
                     }
              else c[i][j]=c[i-1][j];
            }
 return(c[n][m]);
                     
}
int main()
{
    int m,n;int i,j;
    scanf("%d,%d",&m,&n);
    printf("Input each one:/n");
    printf("%d",knapsack(m,n));
    printf("/n");/*下面是測試這個數組,可刪除*/
     for(i=0;i<10;i++)
      for(j=0;j<15;j++)
         {
          printf("%d ",c[i][j]);
             if(j==14)printf("/n");
         }
    system("pause");
}