素數演算法

題目：寫一個程式，找出前N個素數。比如N為100，則找出前100個素數。分析最基本的想法就是對1到N得每個數進行判斷，如果是素數則輸出。一種改進的方法是不需要對1到N所有的數都進行判斷，因為偶數肯定不是素數，而奇數可能是素數，可能不是。2，3，5都是素數，這可以直接得到。然後我們可以跳過2與3的倍數，即對於6n，6n+1, 6n+2, 6n+3, 6n+4, 6n+5，我們只需要判斷6n+1與6n+5是否是素數即可。判斷某個數m是否是素數，最基本的方法就是對2到m-1之間的數整除m，如果有一個數能夠整除m，則m就不是素數。判斷m是否是素數還可以進一步改進，不需要對2到m-1之間的數全部整除m，只需要對 2到根號m之間的數整除m就可以。如用2，3，4，5...根號m整除m。其實這還是有浪費，因為如果2不能整除，則2的倍數也不能整除，同理3不能整除則3的倍數也不能整除，因此可以只用 2到根號m之間小於根號m的素數去除即可。解法1：基本解法給出一個最基本的解法就是預先可得2，3，5為素數，然後跳過2與3的倍數，從7開始，然後判斷11，然後判斷13，再是17...規律就是從5加2，然後加4，然後加2，然後再加4。如此反覆即可，如所示，只需要判斷7，11，13，17，19，23，25，29...這些數字。對這些數進行判斷，如果是素數則輸出。判斷是否是素數採用改進後的方案，即對2到根號m之間的數整除m來進行判斷。需要注意一點，不能直接用根號m判斷，因為對於某些數字，比如121，開根號後得到的不一定是11，可能是10.999999，所以最好使用乘法判斷，如代碼中所示：

#include  <stdio.h>#define   MAXSIZE    100#define   YES          1#define   NO           0int main(void){     int  prime[MAXSIZE];     /* array to contains primes */     int  gap = 2;            /* increasing gap = 2 and 4 */     int  count = 3;          /* no. of primes            */     int  may_be_prime = 5;   /* working  variable        */     int  i, is_prime;     prime[0] = 2;            /* Note that 2, 3 and 5 are */     prime[1] = 3;            /* primes.                  */     prime[2] = 5;     while (count < MAXSIZE)  { /* loop until prime[] full*/          may_be_prime += gap;  /* get next number        */          gap           = 6 - gap; /* switch to next gap  */          is_prime      = YES;  /* suppose it were a prime*/          for (i = 2; prime[i]*prime[i] <= may_be_prime && is_prime; i++)               if (may_be_prime % prime[i] == 0) /* NO    */                    is_prime = NO; /* exit                */          if (is_prime)       /* if it IS a prime...      */               prime[count++] = may_be_prime;  /* save it */     }     printf("\nPrime Number Generation Program");     printf("\n===============================\n");     printf("\nFirst %d Prime Numbers are :\n", count);     for (i = 0; i < count; i++) {          if (i % 10 == 0) printf("\n");          printf("%5d", prime[i]);     }     return 0;}

解法2：篩選法用一個數組x[]儲存3，5，7...這些奇數，則x[i]存的就是2i+3，這樣初始設定所有數都沒有篩掉，然後逐次把合數篩掉。實際就是把2i+3的倍數篩掉，2i+3的倍數可以寫成(2i+3)j，j>1，不然j=1會篩掉自己。又由於偶數不用考慮，所以篩掉的數應該為(2n+1)(2i+3)=2[n(2i+3)+i]+3。因此要篩掉的數在數組中的位置為n(2i+3)+i，n=1，2，3...n=1時，這個值就是2i+3+i，n=2時為2(2i+3)+i；如果一共有N個元素，則x[]中最後一個元素x[N-1]=2N+3，由此就可以得到2到2N+3之間所有素數。代碼如下，注意下面的代碼並不是求前200個素數，而是求的從2到403之間的素數。

/* ------------------------------------------------------ *//* FUNCTION sieve :                                       *//*    This program uses Eratosthenes Sieve method to      *//* generate all primes between 2 and MAXSIZE*2+3.  This   *//* is a very simple yet elegant method to generate primes *//*                                                        *//* Copyright Ching-Kuang Shene               July/01/1989 *//* ------------------------------------------------------ */#include  <stdio.h>#define   MAXSIZE   200#define   DELETED     1#define   KEPT        0void main(void){     int  sieve[MAXSIZE+1];   /* the sieve array          */     int  count = 1;          /* no. of primes counter    */     int  prime;              /* a generated prime        */     int  i, k;               /* working variable         */     printf("\nEratosthenes Sieve Method");     printf("\n=========================");     printf("\n\nPrime Numbers between 2 and %d\n", MAXSIZE*2+3);     for (i = 0; i <= MAXSIZE; i++) /* set all items to be*/          sieve[i] = KEPT;    /* kept in the sieve        */     for (i = 0; i <= MAXSIZE; i++) /* for each i, it     */          if (sieve[i] == KEPT) {   /* corresponds to 2i+3*/               prime = i + i + 3;   /* if it is not sieved*/               count++;             /* prime=2i+3.        */               for (k = prime + i; k <= MAXSIZE; k += prime)                    sieve[k] = DELETED; /* screen multiple*/          }     printf("\n%6d", 2);      /* output part.             */     for (i = 0, k = 2; i <= MAXSIZE; i++)          if (sieve[i] == KEPT) {               if (k > 10) {                    printf("\n");                    k = 1;               }               printf("%6d", 2*i+3);               k++;          }     printf("\n\nThere are %d primes in total.", count);}