機率統計：第二章 隨機變數及其分布_機率統計

第二章 隨機變數及其分布

內容提要：

一、        隨機變數的定義

設是一個隨機實驗，其樣本空間為，若對每一個樣本點，都有唯一確定的實數與之對應，則稱上的實值函數是一個隨機變數（簡記為）。

二、        分布函數的概念和性質

1．分布函數的定義

設是隨機變數，稱定義在上的實值函數

為隨機變數的分布函數。

2．分布函數的性質

(1) ，

（2）單調不減性：，

（3）

（4）右連續性：。

註：上述4個性質是函數是某一隨機變數的分布函數的充要條件。在不同的教科書上，分布函數的定義可能有所不同，例如，其性質也會有所不同。

 （5）

     

      

 註：該性質是分布函數對隨機變數的統計規律的描述。

三、        離散型隨機變數

  1．離散型隨機變數的定義

 若隨機變數的全部可能的取值至多有可列個，則稱隨機變數是離散型隨機變數。

 2．離散型隨機變數的分布律

（1）定義：離散型隨機變數的全部可能的取值以及取每個值時的機率值，稱為離散型隨機變數的分布律，表示為

 

或用表格表示：

 

  x1      x2      …    xn    …

pk

  P1    p2    …    pn    …

或記為

       ~ 

  

（2）性質：， 

    註：該性質是是某一離散型隨機變數的分布律的充要條件。

      其中。

註：常用分布律描述離散型隨機變數的統計規律。

  3．離散型隨機變數的分布函數

   =， 它是右連續的階梯狀函數。

4．常見的離散型分布

     （1） 兩點分布（0—1分布）：其分布律為

        

即

     

 

   0         1

  p

  1–p       p

 

  （2）二項分布

  （ⅰ）二項分布的來源—重伯努利實驗：設是一個隨機實驗，只有兩個可能的結果及，，將獨立重複地進行次，則稱這一串重複的獨立實驗為重伯努利實驗。

  （ⅱ）二項分布的定義

     設表示在重伯努利實驗中事件發生的次數，則隨機變數的分布律為

   ，  ，

稱隨機變數服從參數為的二項分布，記作。

註：即為兩點分布。

（3）泊松分布：若隨機變數的分布律為

   ，     ，

則稱隨機變數服從參數為的泊松分布，記作（或。

四、        連續性隨機變數

   1．連續性隨機變數的定義

   若對於隨機變數，存在定義在上的非負函數，使得對任意的實數，總有 則稱於隨機變數是連續性隨機變數，其中稱為的機率密度函數，簡稱機率密度，為明確起見，有時寫為。

2．機率密度函數的性質

  （1）

註：該性質是是某一連續型隨機變數的機率密度的充要條件。

   （2）對連續性隨機變數，一定是連續的，但是未必連續，在的連續點處，有，

  （3）對任意的實數 從而對任意實數，有

 。

   註：常用機率密度描述連續型隨機變數的統計規律。

4．常見的連續型分布

   （1）均勻分布

   設表示幾何概型中的落點座標，則其分布函數為

，

其機率密度為

，

稱服從區間上的均勻分布，記為。

   （2）指數分布

    若隨機變數的機率密度為

    ，

稱服從參數為的指數分布，其分布函數是

     。

   （3）常態分佈

   （ⅰ）標準常態分佈：若隨機變數的機率密度為

        ，，

則稱服從標準常態分佈，記為，其分布函數為

，

 （ⅱ）一般常態分佈：若隨機變數的機率密度為

        ，，

則稱服從參數為的常態分佈，記為，其分布函數為

，

（ⅲ）常態分佈的性質：

   滿足對稱性，即，；

   若，則，即，從而有；

註：由上述性質，可將常態分佈的計算轉換為標準常態分佈的計算，而對於標準常態分佈的分布函數值，當時有表可查，根據對稱性，當時，可根據算出的值。

 若，則

（ⅳ）標準常態分佈的上分位點：設，對於任給的，，稱滿足的點為標準常態分佈的上分位點。

五、        隨機變數的函數分布

  1．離散型隨機變數的函數分布

設是離散型隨機變數，其分布律為，又

為連續函數），則的分布律為

    情形一：對所有的全不相同時，的分布律為

情形二：若知某個，時，則有

     ，

一般的，的分布律為

              ，

2．連續型隨機變數的函數分布

設是連續型隨機變數，其機率密度為，又，則的機率密度為

    情形一：如果函數處處可導且，則也是連續型隨機變數，其機率密度為

其中=是的反函數。

情形二：如果函數非嚴格單調，則可分兩步求的機率密度：

第一步，求的分布函數，

第二步，對求導數。

六、        幾個註記

1．若分布函數中有待定的常數，則該常數的確定是利用的性質：或。

   2．若機率密度函數（分布律）中有待定的常數，則該常數的確定是利用（分布律）的性質：（；

    3．若是連續型隨機變數，對任意的實數 ；

    4．離散型隨機變數的分布律中兩要素缺一不可，即的所有可能的取值以及取每個值時的機率值，離散型隨機變數的分布函數是右連續、階梯狀的分段函數；

5．若是連續型隨機變數，根據 互求即可。

 

基本要求

1．熟練掌握隨機變數、離散型隨機變數、連續型隨機變數、分布函數、分布律和機率密度函數的概念，理解分布函數、分布律和機率密度函數的性質；

2．會利用隨機變數描述事件，會求隨機變數的分布函數，分布律和機率密度函數，會求隨機變數函數的分布；

3．熟練掌握六種常用的分布；

4．已知分布函數，會求分布律或機率密度函數，已知分布律或機率密度函數，會求分布函數。

重點內容

隨機變數的概念，分布函數、分布律和機率密度函數的概念和性質，分布函數和機率密度函數的計算，隨機變數函數的分布。

典型例題分析

例1 設一個盒子中有標號為1，2，3，4，5的5個球，從中等可能的任取3個，用表示取出球的最大號碼，求隨機變數的分布律及分布函數。

分析：本題中，的所有可能的取值為3，4，5，而取每個值（事件）時的機率是古典概型的機率，然後根據分布律及分布函數的關係求出分布函數。

解：的所有可能的取值為3，4，5，

當時，即取出號碼為（1，2，3），，

當時，即取出號碼為（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4），，

當時，即取出號碼為（1，2，5），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），，

故分布律為

   X

 3      4      5

   pk

 1/10   3/10    3/5

 

由公式可得分布函數為

     

例2 一批零件中有9個正品3個次品，從中任取一個，如果取出次品不再放回，求在取出正品前已取出的次品數的分布律。

分析：本題中，的所有可能的取值為0，1，2，3，而取每個值（事件）時的機率是古典概型的機率。

解：的所有可能的取值為0，1，2，3，設表示第次取出的是正品，則由乘法公式得的分布律為

 

同理

例3 一個靶子是半徑為兩米的圓盤，設擊中靶上任一同心圓盤上的點的機率與該圓盤的面積成正比，並設射擊都能中靶，以表示彈著點與圓心的距離，求的分布函數。

   分析：根據分布函數的定義求。

  解：設的分布函數為，若，則是不可能事件，此時，；

  若 由題意，，為確定常數，取，則有，而，所以，從而

；

若，則是必然事件，於是；

綜上所述，

     

例4 設隨機變數的分布函數為

 

試確定常數，並求。

分析：根據前面的註記，應用的右連續性可求出常數，然後應用的性質中對隨機變數的統計規律的描述求機率。

解：由分布函數的右連續性得，由機率與分布函數的關係得

註：從本例可以看出，分布函數既非連續又非階梯狀，從而說明，存在既非離散又非連續的隨機變數。

例5 設隨機變數的分布函數為，，求

（1）係數，（2）落在內的機率，（3）的機率密度。

分析：根據的性質及和機率密度函數之間的關係求解。

解：（1）由於，可知

，解之得，

於是，。

（2）

=

 （3） ，

例6 設隨機變數的機率密度，求

（1）係數， （2）   （3）求的分布函數。

    分析：根據的性質及分布函數和機率密度函數之間的關係求解。

解：（1）由於，得，即，

（2），

（3）

  當時，，

           當時，+，

所以的分布函數   。

例7 設電視機的壽命（以年記），具有以下的機率密度函數

    

求（1）電視機的壽命最多為6年的機率，

  （2）壽命最在5到10年之間的機率，

分析：本題是已知連續性隨機變數的機率密度函數求機率，按前面的公式求即可。

解：電視機的壽命記為，則有

      （1）

      （2）

例8 設公用汽車每隔5分鐘有一輛汽車通過，乘客在任一時刻到達車站是等可能的，求

（1）乘客候車時間不超過3分鐘的機率，

（2）乘客每周等車3次，每次若超過3分鐘就離開，用表示該乘客在一周內等到公用汽車的次數，求的分布律，並求。

分析：由題意知，乘客候車時間應服從均勻分布，求乘客候車時間不超過3分鐘的機率，就是根據機率密度求機率；又由題意可知，是服從二項分布的隨機變數。

解：（1）設表示候車時間，由題意可知服從[0，5]上的均勻分布，機率密度為

  ，

故乘客候車時間不超過3分鐘的機率為；

    （2）由題意可得，，從而

          ==。

例9設隨機變數，求：

       （1）