機率統計：第三章 多維隨機變數及其分布_機率統計

第三章    多維隨機變數及其分布

內容提要：

一、 二維隨機變數

1、二維隨機變數的定義：設E是一個隨機實驗，它的樣本空間是， 是定義在S上的隨機變數，則叫做二維隨機向量或二維隨機變數。

2、二維隨機變數的分布函數的定義：設是二維隨機變數，對於任意實數，二元函數：

稱為二維隨機變數的分布函數，或稱為二維隨機變數和的聯合分布數.

3、二維隨機變數的分布函數的性質：

(1) 是變數的單調非降函數.

（2），且對於任意固定的對於任意固定的，，.

(3) 關於變數和的分別右連續

（4）對於任意有

需要注意的是：只要滿足這四條的二元函數一定是分布函數。

4、設二維隨機變數的全部可能取到得值是有限對或無限可列對記則稱為二維離散型隨機變數的分布律，或稱為隨機變數的聯合分布律。

二維離散型隨機變數的分布函數為：

5、對於二維隨機變數的分布函數，如果存在非負的可積函數使對於任意實數有

則稱是連續的二維隨機變數，函數稱為二維隨機變數的機率密度，或稱為隨機變數的聯合機率密度。

6、二維連續型隨機變數的機率密度的性質：

（1) ；  （2）；

(3) 設是面上的地區，點落內的機率為

；

（4）若在連續，則        。

注意：類似二維隨機變數，我們可以定義多維隨機變數及其分布函數，並討論分布函數的性質。

二、條件分布和邊緣分布

   1、二維隨機變數作為一個整體，具有分布函數，而X和Y作為隨機變數，分布函數分別記為和，並依次稱為二維隨機變數關於X和關於Y的邊緣分布函數，並且。

（1）二維離散型隨機變數，分布律，則Ｘ和Ｙ的分布律分別為

和分別稱為關於和關於的邊緣分布律．

對固定的，若則稱

為在條件下隨機變數的條件分布律。

對固定的，若則稱

為在條件下隨機變數的條件分布律。

（2）二維連續型隨機變數，機率密度為，則和的機率密度分別為

和分別稱為關於X和關於Y的邊緣機率密度．

對固定的，若則稱

為在條件下隨機變數的條件機率密度。

為在條件下隨機變數的條件分布函數。

對固定的，若則稱

為在條件下隨機變數的條件機率密度。

為在條件下隨機變數的條件分布函數。

注意：關於聯合分布函數，邊緣分布，條件分布的概念可以類似推廣到維隨機變數上。

三、隨機變數的獨立性

1、二維隨機變數的分布函數為，邊緣分布函數分別為和，若對於任意實數，有

則稱隨機變數與稱是相互獨立的。

當是離散型隨機變數時，與相互獨立的充要條件是對於的所有可能取值有

當是連續型隨機變數時，與相互獨立的充要條件是等式

幾乎處處成立。

註：所謂“幾乎處處成立”是指平面上除去面積為零的以外，處處成立。

2、設是維隨機變數，其分布函數為

其中為任意實數。

若維隨機變數的分布函數是已知，則的維邊緣分布函數就隨之確定。例如維隨機變數的分布函數為

    若是維連續型隨機變數的機率密度，則的維邊緣機率密度就隨之確定。例如維隨機變數的機率密度為

若對於任意有

則稱是相互獨立的。

若對於任意；有

則稱與相互獨立。

若與相互獨立，則與相互獨立，其中是連續函數。

四、多個隨機變數的函數的分布

1、設是離散型隨機變數，分布律為

，

則的分布律為

設是連續型隨機變數，密度函數為,的分布函數為

2、設是連續型隨機變數，密度函數為,的分布函數為

特別地,當和相互獨立, 分布密度分別為和,的分布函數為

可以得到以下結論:

若,且相互獨立,則

若,且相互獨立,則

3、設離散型隨機變數，和相互獨立, 分布律分別為和 ,則的分布律為

4、設是個相互獨立的隨機變數，它們的分布函數分別為，記， ，則的分布函數為

的分布函數為

特別地，當具有相同的分布函數時有，

典型例題分析

例1、 設二維隨機變數的聯合機率密度函數為

其中，則稱服從參數為的二維常態分佈，記為。

則的邊緣分布和條件分布都是常態分佈，且，

。

對於給定的實數在下的條件分布為

於給定的實數在下的條件分布為

解：具有機率密度

因為所以，

即。

同理

即。

對於給定的實數在下的條件機率密度函數為

即    

對於給定的實數在下的條件機率密度函數為

即    

所以，二維正態變數的邊緣分布和條件分布都是常態分佈。

例2、 設隨機變數具有機率密度為

（1）求，並判定隨機變數是否相互獨立；

(2)求的機率密度函數.

解： （1）

同理

由於

隨機變數不相互獨立。

（2）的機率密度函數為

例3、 設隨機變數具有機率密度

求的機率密度函數.

解：設的分布函數為，

則當時，；

當時，

所以的機率密度函數

例4、設隨機變數相互獨立，具有相同的機率密度

求的機率密度函數.

解：    

的分布函數為

所以的機率密度函數為

的分布函數為

所以的機率密度函數為

例5、若,且相互獨立,則

證明：

所以。

由於,且相互獨立,

下面我們用數學歸納法，證明 。

當結論成立。假設有，。

由於相互獨立,則相互獨立,且，，所以有

。

例6、隨機變數的機率密度函數為

證明和不相互獨立，和相互獨立.

解：

同理

由於，

所以和不相互獨立。

當時，

當時，

；

同理，當時，；

顯然時，；

當時，；

即 

又

同理

所以，任意對於實數，有，於是和相互獨立。

 

自測題

一、填空題（每空3分，共21分）

(1)隨機變數和相互獨立，且，則隨機變數的分布律為　　　　

(2)設和是兩個隨機變數，，，則．

（3）已知隨機變數具有機率密度

則         ，的邊緣密度函數．

（4）已知隨機變數具有機率密度

則         ，＝．

（5）設相互獨立，且，

則．

二.（9分） 設隨機變數具有機率密度為

求的機率密度函數.

三（10分）．隨機變數和相互獨立，它們的機率密度函數分別為

求的機率密度函數.

四、（10分）設隨機變數和相互獨立， ，求

五、（10分）設隨機變數具有機率密度為

（1）       求邊緣機率密度函數；  （2）判定隨機變數是否相互獨立；

(3) 求的條件機率密度函數.

六、（10分）設隨機變數相互獨立，具有相同的機率密度

求的機率密度函數.

七、（10分）隨機變數和相互獨立，它們的機率密度函數分別為

求的機率密度函數。

八、（10分）設隨機變數