機率統計：第八章：假設檢驗_機率統計

第八章：假設檢驗

內容提要：

1、  在總體的分布函數完全未知或只知其形式，但不知其參數的情況下，為了推斷總體的某些未知特性，提出某些關於總體的假設，然後根據樣本對所提出的假設作出是接受還是拒絕的決策過程稱為假設檢驗。

2、  處理假設檢驗問題的步驟：

（1） 根據實際問題的要求，提出原假設H0及備擇假設H1；

（2） 給定顯著性水平及樣本容量；

（3） 確定檢驗統計量及拒絕域的形式；

（4） 按{當H0為真拒絕H0}求出拒絕域；

（5） 取樣，根據樣本觀測值作出決策，是接受H0還是拒絕H0。

3、  兩類錯誤：

（1）       當假設H0實際為真時，由樣本觀測值做出了拒絕H0的錯誤結論，稱為第一類錯誤或“以真當假”錯誤，用表示犯第一類錯誤的機率，即{};

（2）       當假設H0實際為錯誤時，由樣本觀測值做出了接受H0的錯誤結論，稱為第二類錯誤或“以假當真”錯誤，用表示犯第二類錯誤的機率，即{};

 當樣本容量固定時，若要減少犯第一類錯誤的機率，犯第二類錯誤的機率會增大，同時，若要減少犯第二類錯誤的機率，犯第一類錯誤的機率會增大。若要使犯兩類錯誤的機率同時減少，在樣本容量固定的情況下是不可能的。一般來說，假設檢驗中總是控制犯第一類錯誤的機率，使它較小，對犯第二類錯誤的機率不加考慮。

4、              正態母體參數的假設檢驗方法表（顯著性水平為）

5、信賴區間與假設檢驗的關係：

考慮顯著性水平為的假設檢驗：假設它的接受域為：           

 

  即有：     

  從而對，有 

 

  因此，是參數的一個置信水平為的信賴區間，即假設檢驗接受域的上下兩個邊界就是對應參數信賴區間的置信上限和置信下限。

基本要求：

1．  理解“假設檢驗”的概念，掌握假設檢驗的基本求解步驟。

2．  理解假設檢驗兩類錯誤的產生根源及對應機率的定義。

3．  掌握單段兩個正態母體參數，假設檢驗求解。

4．  瞭解假設檢驗與信賴區間的關係。

本章痛點：假設檢驗的基本原理，假設檢驗中兩類錯誤產生的根源。

本章重點：假設檢驗的求解步驟。

痛點解析：

    1．假設檢驗的基本思想：反證法與基本統計推斷原理（小機率事件在一次實驗中幾乎是不可能發生的）這裡可假設檢驗的基本做法中體會到：設有某個假設需要檢驗，先假設正確，在此“假定”之下構造一個時間，它在正確的條件下發生的機率很小：設定，現在進行一次實驗，如果事件發生了，那便是出現了一個小機率事件，但由基本統計推斷原理，事件是不可能發生的，現在居然發生了，這與基本統計推斷原理“矛盾”，從而表明“假設是正確”是錯誤的，從而拒絕，反之，如果小機率事件沒有出現，通常接受。

2.假設檢驗中兩類錯誤產生的根源，可以兩方面理解：一方面基本統計推斷原理中“小機率事件在一次實驗中幾乎是不可能發生的”，並非“小機率事件在一次實驗中絕對不會發生”，因此，若H0正確，但碰巧小機率事件在一次實驗中發生了，就作出了拒絕H0的決策，而這一決策是錯誤的 ，這就產生了假設檢驗中的兩類錯誤；另一方面，假設檢驗是根據樣本推斷總體，實質上是用部分推斷整體，這本身就決定了不可能絕對不犯錯誤。

典型例題分析：

例1：下面是某個隨機選取20隻組件的裝配時間（單位：分）

9.8   10.4  10.6  9.6   9.7   9.9  10.9  11.1  9.6   10.2

10.3  9.6   9.9   11.2  10.6  9.8  10.5  10.1  10.5  9.7

設裝配時間的總體服從常態分佈，參數均未知

（1）可否認為裝配時間的均值為10。

（2）可否認為裝配時間的 均值顯著大於10。

分析：假設檢驗分雙邊假設檢驗與單邊假設檢驗，進行假設檢驗時要注意由問題所問進行區分。

解：（1）由題設知總體，均未知，要求在水平下檢驗假設

因未知，採用t檢驗，取檢驗統計量為：

由於n=20，=10.2，s=0.51，，

絕對域為：           

經計算即檢驗統計量不落在拒絕域內，故在水平下接受原假設H0,即認為裝配時間均值可認為是10。

（2）由題設知總體,均未知，要求在水平下檢驗假設：

因未知，採用t檢驗，取檢驗統計量為        

由於n=20，=10.2，s=0.51，,

拒絕域為：即經計算：t＝1.75>1.729，檢驗統計量落在拒絕域內，故在水平下拒絕假設，認為裝配時間明顯大於10。

例2：測得兩批電子器件的樣品的電阻（單位：）為：

A批(x)

0.140

0.138

0.143

0.142

0.144

0.137

B批(y)

0.135

0.140

0.142

0.136

0.138

0.140

設兩批器材電阻總體分別服從分布均未知，且兩樣本獨立，問在下，可否認為兩批電子器件的電阻相等。

分析：進行假設檢驗時，要仔細審題，搞清楚問題需要檢驗的假設，以及進行該檢驗需要知道的前提，本題進行的是兩獨立正態總體均值相等與否的假設檢驗，這種檢驗需要兩總體方差是否相等的前提，所以本題需要進行兩獨立總體方差是否相等的假設檢驗，若經檢驗方差相等的假設成立，方可進行均值相等與否的檢驗。

解：由題設，A批電子器件的電阻,B批電子器件的電阻，這裡均未知。

(1)在水平下，檢驗假設   

採用F檢驗，檢驗統計量

現有

，拒絕域為：

經計算：F=1.108，因0.140<1.108<7.15，故檢驗統計量不落在拒絕域，故在水平下接受的假設，認為兩批電子器件電阻方差相等。

(2)基於兩總體方差相等的前提，在水平下，檢驗假設，採用t檢驗。檢驗統計量為

現有：

         

拒絕域為：

經計算：|T|=1.3958<2.2281，不落在拒絕域內。故在水平下接受假設H0，認為兩批器件電阻均值相等。

例3：有兩台機器生產金屬組件,分別在兩台機器所生產的不見中各取一容量年n=60,n=40的樣品,測的組件重量(單位:公斤)的樣本分差分別為,,設兩樣本相互獨立，兩總體分別服從，分布。均未知，問：在水平下，可否認為第一台機器生產的組件重量的方差大於第二台機器生產組件重量的方差。

解：由題設要求在水平下檢驗假設，

採用F檢驗，檢驗統計量為

現有 

 

拒絕域為  

經計算：。檢驗統計量不落在拒絕域內，故在下接受。認為第一台機器生產的組件重量的方差大於第二台機器生產組件重量的方差。

 

自測題

一、  選擇題

1．  在顯著性水平下，對正態總體期望進行假設的檢驗，若經檢驗原假設被接受，問在水平下，下面結論正確的是（）

（A）     接受                     （B）拒絕

（B）     可能接受也可能拒絕       （D）不接受也不拒絕

2．  設總體～，已知，未知。（）為來自的一組樣本。問檢驗假設，的拒絕域為（    ）

（A）         （B）

（C） （D）

3．  在假設檢驗中，記為待檢驗原假設，則稱（    ）為第一類錯誤。

（A）為真，接受             （B）不真，拒絕

（C）為真，拒絕             （D）不真，接受

二 填空題:

4. 設是來自總體的樣本,未知,且  ，則假設的t檢驗的檢驗統計量.

5. 設總體已知,為來自總體X的樣本,則檢驗假設的統計量為______:當成立時,服從______分布。

三 解答題

6. 化工廠用自動打包機封裝化肥，某日測得9保化肥的重量（公斤），如下：

   49.7 49.8 50.3 50.5 49.7 50.1 49.9 50.5 50.4

已知打包重量服從常態分佈，是否可認為每包平均重量為50公斤（）。
7. 某台機器加工零件，規定零件長度為100厘米，標準差不得超過2厘米，

每天定時檢查及其運行情況，某月抽取零件10個，測得平均長度 厘米。標準差厘米。設加工零件長度服從常態分佈，問該機器工作是否正常（）。（提示：設零件長度先檢驗假設，後檢驗假設).

8. 冶煉某種金屬有兩種方法。現各隨取一個樣本，得產品種雜質含量（單位克）如下：

甲：26.9 22.8 25.7 23.0 22.3 24.2 26.1 26.4 27.2 30.2 24.5 29.5 25.1

乙：22.6 22.5 20.6 23.5 24.3 21.9 20.6 23.2 23.4

已知產品雜質含量服從常態分佈，問

（1）所含產品雜質方差是否相等，

（2）甲種冶煉方法所生產產品雜質含量是否不大於乙種方法

答案：1.A 2.D 3.C 

 4.    5.

6.可以  

7.該日機器工作正常

8.（1）無明顯差異    

(2)甲種冶煉方法所生產產品雜質含量大於乙種方法

from: http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap8.htm