機率統計：第四章 隨機變數的數字特徵_機率統計

第四章 隨機變數的數字特徵

內容提要

一、數學期望

1.設離散型隨機變數的分布律為  ,

若級數收斂，稱級數的和為隨機變數的數學期望，記為，即

2.設連續型隨機變數的密度函數為, 若積分收斂，稱積分的值為隨機變數的數學期望，記為，即

3.設是隨機變數的函數（是連續函數）

a) 是離散型隨機變數，其分布函數為，

  若級數收斂，則；

b) 是連續型隨機變數，其密度函數為

  若積分收斂，則；

c) 為隨機變數，是連續函數，則=為隨機變數

    若()為二維離散型隨機變數,聯合分布率為

,,且收斂, 則=，特別      

;

 

若()為二維連續型隨機變數,聯合密度為，且收斂，

則

特別      

      

4. 數學期望的性質

a) 設為常數，則；

b) 設為隨機變數，為常數，則；

c) 設為任意兩個隨機變數，則；

d) 設為相對獨立的隨機變數，則；

一般地，若相互獨立，則

二、方差

1．設X為隨機變數，若 存在，則稱為X的方差，記為D(X)或Var(X)，即

記為，稱為X的均方差或標準差。

a) X是離散型隨機變數，分布律為 則

 

b) X為連續型隨機變數，其密度函數為，則

c) 方差的計算公式：

2．方差的性質

a)

b)

c)

d)若X,Y相對獨立，則

一般地，若相互獨立，則

e) ,C為常數。

三、常見分布的期望與方差

（0-1）分布：

 

二項分布：

泊松分布：

  

幾何分布：

  

均勻分布：

     

指數分布：

      

-分布（）：

，

常態分佈（

from: http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap4.htm