編程之美2.16 最長上升子序列

 如何求一個一維數組（N個元素）中最長遞增子序列？
例如給定序列1-1,2,-3,4,-5,6,,-7,其中最長遞增子序列的長度為4（如1,2,4,6）。
經典解法：也是傳統解法，動態規劃，每加入一個新的數字，則檢查是否和前面所記錄的序列能組成更長序列。樣本如下：
掃描序列     1 -1 2 -3 4 ……
記錄序列最大值   1 -1 2  1 4 ……
記錄序列長度     1  1 2 -3 3 ……
代碼如下：

int LIS(int array[], int len){int List[MaxLen];int max = 0;for(int i = 0; i < len; i++){List[i] = 1;for(int j = 0; j < i; j++){if(array[i] > array[j] && List[j] + 1 > List[i]){List[i] = List[j] + 1;}}if(List[i] > max)max = List[i];}return max;}

改進解法：傳統解法的時間複雜度O(N^2)。顯然效率不高，也是較基本的一種解法，認真分析發現其中有大量重複判斷。舉個例子：
5 6 7 1 2 3 4 8.顯然當加入8的時候，只需和1 2 3 4構成序列即可，不必記錄和5 6 7構成序列的情況，這是關鍵，因為對於未來情況也就是8後面的情況，都是一樣的，所以完全不必記錄和5 6 7構成序列的情況。如果每加入一個數字，能夠按優先匹配曆史最長序列長度顯然能提高效率。
代碼如下：

int LIS(int array[], int len){int Maxs_Min_V[MaxLen];int nMaxLIS = 1;//初始最長遞增子序列的長度int List[MaxLen];Maxs_Min_V[1] = array[0];Maxs_Min_V[0] = -10000;//只要比數組中所有值小就行//初始化for(int k = 0; k < len; k++){List[k] = 1;}for(int i = 1; i < len; i++){//遍曆曆史最長遞增序列資訊int j = 0;for(j = nMaxLIS; j >= 0; j--){if(array[i] > Maxs_Min_V[j]){List[i] = j + 1;break;}}//如果當前最長序列大於最長遞增序列長度，更新最長資訊if(List[i] > nMaxLIS){nMaxLIS = List[i];Maxs_Min_V[nMaxLIS] = array[i];}else if(Maxs_Min_V[j] < array[i] && array[i] < Maxs_Min_V[j + 1]){Maxs_Min_V[j + 1] = array[i];}}return nMaxLIS;}