編程之美-3.7-隊列中取最大值操作問題

1. 簡述

    假設有這樣一個擁有3個操作的隊列：
    1. EnQueue(v)：將v排入佇列中
    2. DeQueue：使隊列中的對首元素刪除並返回此元素
    3. MaxElement：返回隊列中的最大元素
    請設計一個資料結構和演算法，讓MaxElement操作的時間複雜度儘可能的低。

2. 思路

    起初沒仔細看，還以為與此前的自訂棧-pop-push-min-時間複雜度都為O(1) 是一樣的，後來才發現不是一回事，有差別的。對於棧來說，我們可以的入棧和出棧不會影響輔助數組內的情況，假設當前N個元素，（為了說明簡單，下標從1開始），輔助空間的F[1]記錄的是A[1,1]內的最值位置，F[2]記錄的是A[1,2]內的最值位置，···，F[N]記錄的是A[1,N]內的最值位置。在插入F[k+1]=A[F[k]]與A[k+1]兩者最值的位置，插入複雜度為O(1)，在刪除第k+1個節點時，刪除A[k+1]和F[k+1]，這並不影響F[1]-F[k]，因此刪除的複雜度為O(1)，取最值，假設當前N個元素，即返回A[F[N]]。
    對於隊列來說，如果套用棧的輔助數組方法，假設當前有N個元素，下標從1開始，那麼F[1]記錄的是A[1,N]中的最值，F[2]記錄的是A[2,N]中的最值，···，F[N]記錄的是A[N,N]中的最值。當A[k+1]入隊時，需要更新F[1]到F[k]，F[K+1]=K+1，因此插入的複雜度為O(N)，當F[k]出隊時，刪除F[k]即可（每次出隊的都是第一個元素，實際上此時F[1]-F[k-1]已經出隊完畢了），因此刪除的複雜度為O(1)。取最值的複雜度是O(1)。
    隊列與棧的區別很清楚了。編程之美上給了兩個答案，一個是構建最大堆，另一個是用兩個棧來實現。
    最大堆的方法：
    隊列本身要麼順序結構要麼連結結構，還那麼存。另外對於隊列每個元素構建一個節點（包含在隊列中的位置），這些節點構成一個最大堆，因此插入和刪除操作都要維護這個最大堆，時間複雜度都是O(LogN)，取最大值的複雜度為 O(1)。
    兩個棧的方法：
    A棧，B棧，這兩個棧都是前面提到的pop-push-min複雜度都為O(1)的空間換時間的實現。
    取最值：返回A棧的最值和B棧的最值相比後的最值。複雜度O(1)。
    入隊操作：直接入到B棧中。複雜度O(1)。
    出隊操作：如果A棧不為空白，直接A棧出棧，複雜度為O(1)，如果A棧為空白，那麼將B棧內容逐個出棧並且逐個入棧到A中，然後A棧出棧，複雜度O(N)，實際上是B棧的長度。
    對於這種方法，如果對列的操作時，一連串的入棧，然後是一連串的出棧，那麼就是首先不停向B入棧，然後第一個出棧，B棧元素全壓入A棧，A出棧一個，這一步是N的複雜度，但是此後是不停的從A出棧，這都是O (1)的複雜度。還不錯呢。而且藉助了棧的代碼，方便實現。對於這樣的情景，就是只有第一個出棧的時候，要O(N)，複雜度不是很均勻。對於每個元素來說，要麼入B棧，入A棧，從A棧彈出，即總體是3N，平均下來基本上是O(3)，要不最大堆的O(LogN)是快了不少呢。
3. 參考

    編程之美，3.7，隊列中取最大值操作問題