[Project Euler]加入歐拉 Problem 5

2520 is the smallest number that can be divided by each of the numbers from 1 to 10 without any remainder.

What is the smallest positive number that is evenly divisible by all of the numbers from 1 to 20?

找出最小的能夠除盡1-20中間所有的數的正數。

 

這個題，我就是使用傳說中的筆算，算出來的O(∩_∩)O哈哈~

首先看下能夠除盡1-10中間所有的數 2520

然後分析下11-20中間所有的數

11， 12， 13， 14， 15 ， 16 ， 17 ， 18 ，19， 20

第一步可以挑選出質數，質數肯定是不能分解的。那我們要找的數就是2520 * 11 * 13 * 17 * 19的倍數

第二步， 看下 12 = 2*6

14  = 2*7

15 = 3*5

16 = 2*2*2*2

18 = 2*3*3

20 = 2*5*2

也就是說新的數肯定不用考慮 14 15 了，因為2520裡面已經包含了這個因子， 剩下需要考慮16 18 20 這3個

第三部， 我們可以看下2520 肯定可以被9 整除，同時 它也是2的倍數，故排除18，同理20.剩下需要處理16.

第四步，用2520除以16就發現只餘下0.5，這樣可以乘以最小的因子，也就是2 就可以滿足了。

那樣那個數就是

2520 * 11 * 13 * 17 * 19 * 2

哈哈。下面給出如何用電腦程式來解決這個問題吧

 

先說下使用電腦解決的思想：（使用比較簡單的數組來解決）

找出能夠整除1-N中間所有數的最小數

1. 找出1-N中間所有的素數，放入數列a[N]中，a[N]不足的部分使用1來填充。
2. 求出所有素數相乘的積。然後對剩下1-N中除去素數剩下的數，進行一次快速的刪選。用這個乘積去%剩下的數種每個一個數，如果可以除盡，那剔除這個數。不能除盡保留。
3. 對於保留的數，進行因素拆分，比如像16 = 2*2*2*2. 拆分的數對比那個素數數列a[N]。找出比如16裡面有的，a[N]裡面沒有的部分。比如16 裡面的第一個2，a[n]裡也有，則16和數列同時剔除2，然後第二個2，a[N]裡面已經剔除過2了，沒有2了，則把這個2，加入到a[N]中。
4. 依次對每個剩下的數進行如此處理。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <stdbool.h>#include <math.h>#define N 20bool isPrime(int n); //判斷一個數是不是質數 void splitNum(int arr[N], int num); // 拆分一個數為對應質數相乘的積 int main(int argc, char *argv[]){    int num = N;    int arr[N]; //arr儲存1-num範圍內的所有質數     int arr1[N]; // arr1儲存1-num範圍內的所有數         int pnum = 0;    int i = 0;        for(i = 0; i < N; i++)// 初始化arr1數組     arr1[i] = i + 1;        for(i = 2 ; i <= num; i++) //找出1- num 範圍內的所有質數 加入到整形數組中    {        if(isPrime(i))        {            arr[pnum] = i;            pnum ++;        }    }        unsigned long tmppro = 1; // 求出1-num範圍內所有質數的乘積，進行第一次初選    int j = 0;    for(j = 0; j < pnum; j++)    tmppro *= arr[j];    for(i = 0; i < N; i++)    {        if(tmppro % arr1[i] == 0)        arr1[i] = 1;    }                          for(i = 0; i < N; i++) // 處理 1-num範圍內除去質數，以及可以被整除的數，剩下的數     {        if(arr1[i] != 1)        {                        int copyArr[N]; // 拷貝質數數組資料             for(j = 0; j< pnum; j++)            copyArr[j] = arr[j];                        int tmp[N], k;                                    splitNum(tmp, arr1[i]); //分拆這個數,因子儲存到tmp數組裡                        for(j = 0; j < N; j++)            {                if(tmp[j] != 1) // 分析每個因子                 {                    for(k = 0; k < pnum; k++) // 檢測temp[j]是否在copyArr[j]中                     {                        if(copyArr[k] == tmp[j])                        {                            copyArr[k] = 1;                              tmp[j] = 1;                        }                                                                  }                               }            }                        for(j = 0; j< N; j++)            {                if(tmp[j] != 1)                {                    tmppro *= tmp[j];                    arr[pnum] = tmp[j];                    pnum ++;                }            }        }    }        printf("%lu", tmppro);         system("PAUSE");  return 0;}bool isPrime(int n){    int sqr = (int)sqrt(n + 1);    int i;    for(i = 2; i <= sqr; i++)    {        if(n % i == 0)        return false;    }        return true;    }void splitNum(int arr[N], int num){    int i;        for(i = 0; i < N; i++) // 將數組的每個元素初始化為1     arr[i] = 1;    int k = 2; // 從最小的質數2進行拆分    i = 0;    while(k <= num)    {        if(num % k == 0)        {            arr[i] = k;            i++;            num = num / k;        }        else        k++;    }}