兩個有序數組歸併的平均比較次數的定量分析

假定有兩個有序數組分別為

An{A1,A2,....An},其中A1<A2<...An

Bm{B1,B2,....Bm},其中B1<B2<...<Bm

歸併後得到Cm+n,其中C1<C2<...<Cn

 

很容易得到

最好情況下，比較次數為min(m,n)次（後續的max(m,n)個數直接拷貝到數組C中）。

最壞情況下，比較次數為m+n-1（只有最後一個數獲得直接拷貝到數組C中的機會）。

 

平均情況是怎樣的呢？

引理1

假定有兩個有序數組分別為

An{A1,A2,....An},其中A1<A2<...An

Bm{B1,B2,....Bm},其中B1<B2<...<Bm

歸併後得到Cm+n,其中C1<C2<...<Cn

其中數組C的不同的方案數有C(m+n,m)次

【C(x,y)表示組合數，從x個元素中選擇y個，y不區分順序】

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假定最後留存下來直接拷貝進數組C的是B數組中的數，

則最終數組C必有形如：XXXXXXXAn Bk+1 Bk+2 ...Bm

由引理1，數組C的不同的方案數有C(n-1+k,k)。

則平均為

(1/C(m+n,n))* Σ[k=0,m-1](C(n-1+k,k)*(n+k))   【Σ[i=1,m]i = m*(m+1)/2】

= (m/C(m+n,n))*Σ[k=0,m-1]C(m+k,m)

= (m/C(m+n,n))*(C(m,m)+C(m+1,m)+...+C(m+n-1,m)

= (m/C(m+n,n))*C(m+n,m+1)

=m-m/(n+1)

 

最後剩下An的情況類似，計算得到n-n/(m+1)

 

則平均情況下比較次數為m+n-n/(m+1)-m/(n+1)

 

當m=n時，平均比較次數為2n - 2n/(n+1) ，當n很大時接近2n-2。

 

因此到這這樣一個結論：歸併的平均比較次數只比最好情況下少1次。

 

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註：此題是清華組合數學常見基本考題，解題用到了模型轉換，格路問題，

以及C(m,m)+C(m+1,m)...+C(m+n,m) = C(m+n+1,m+1)的結論（該結論也可以通過格路問題解得）