趣味題系列（6）：帽子戲法

題目： 現在有10個人被一個魔鬼逮住了。魔鬼對於直接把人殺掉的方法不感興趣了。於是，他就想了一個殺人的新花樣。是這樣的，一天晚上，魔鬼向這十個人宣布了遊戲規則，即明早他要把他們10個人排成一排，然後從一堆既有無限多的白帽子混會著無限多的黑帽子的帽子堆裡為每個人隨機抽取一頂帽子，給他們10個人都戴上帽子。因為10個人是排成一排的，所以排在第10個的人可以看到前面9個人帽子的顏色，排在第9個人可以看到前面8個人的帽子的顏色，...以此類推。然後，魔鬼會從排在第10個人開始，問他，你頭上的帽子的顏色是白色還是黑色，如果答對了，就放他走；如果答錯了，就被殺掉。然後同樣問排在第9位的人，然後問同樣問排在第8位的人，...以此類推。在這其中，10個人所能做的只有當他被魔鬼問到的時候，答白色或者黑色。不能有超越此範圍的任何行動，不然，魔鬼會把他們10個人全都殺死。 現在，魔鬼給他們10個人一個晚上的時間去商量一個對策，使得他們中能存活下來的人越多越好。請問，你會有什麼樣的對策，請計算出按照你的對策執行時最壞的情況下，他們中能有多少人能100%夠活下來？期望能活下來的人數又是多少？

 

解答：

從只能回答白或黑，也就是只能2中選1，從而聯想到二進位和奇偶性。二進位一下子沒想出什麼好方法，奇偶性有一些提示，所以從奇偶性入手。第10個人以他所見到的9個帽子中白帽的數量的奇偶性作答，例如大家約定白代表偶，黑代表奇，則第10個人的回答是前9個帽子中白帽的數量的奇偶。他自己有50%的機會。第9個人聽到他的回答後，結合他看到的8頂帽子中白帽的奇偶，可以知道自己的帽子的顏色，如實作答。第8個人知道9頂帽子中白帽的奇偶，加上聽到第9頂帽子的顏色，就可以知道前8頂帽子中白帽的奇偶(如果第9個人答白，則前8頂中的白帽奇偶性與第第10個人所說的相反；如果第9個人答黑，則相同)，再結合所看到前7頂帽子中的白帽數量，也可以推出自己的帽子顏色，也如實作答。依此類推，前9個人都可以活下來，第10個人有一半機會。