R語言數值積分

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　　前兩天對學習了R裡面計算的基本範圍，以及一些求解方程的方法，今天來看看積分，其實上個學期學了數值分析，對這部分的演算法是有所瞭解的，當時是用matlab寫了一遍，已經忘了怎麼實現的了，現在用R重新寫一遍吧，演算法有梯形積分法，辛普森積分法，自適應積分法。

• 梯形積分法

　　　　梯形積分法可以用很好的解釋

　　　　就是將微積分的時候用的方法，取Δx,則一小塊面積就約等於f(x)*Δx，連續函數在Δx趨於0的時候，該公式會越來越精確。

###設定小數位元options(digits = 8)func1 <- function(x) return(4*x^3)###梯形積分法tixing <- function(func, a, b, n=100){  x <- 0  h <- (b-a)/n  for(i in 1:n){    x <- h*func(a+i*h) + x  }  return(x)}tixing(func1,0,1,n=10000)###可以看到這種近似較為粗糙，可以稍微改進一些tixing2 <- function(func, a, b, n=100){  h <- (b-a)/n  add_by <- seq(a,b,by=h)  f_x <- sapply(add_by,func)  x <- h*sum(f_x[1]/2,f_x[2:n],f_x[n+1]/2)  return(x)}
tixing2(func1,0,1,n=100)

• 辛普森方法

　　　　辛普森方法和梯形方法類似，但是做了改進，前面我們改進的方法用的是梯形逼近，這樣子f(x)其實是表示成了一段直線，辛普森方法使用拋物線來擬合，可　　　　　　        以降低誤差。

　　　　這裡直接給出辛普森的計算公式

　　　　S=h/3(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+```+4f(xn-1)+f(xn))

　　　　

###辛普森方法simpson <- function(func, a, b, n=100){  h <- (b-a)/n    ###奇數項  add_by_1 <- seq(a+h,b-h,by=2*h)  ###偶數項  add_by_2 <- add_by_1+h  add_by_2 <- add_by_2[-length(add_by_2)]  x <- h/3*sum(func(a),4*sapply(add_by_1,func),2*sapply(add_by_2,func),func(b))  return(x)}

　　　　目前為止我們指定了運算次數n，而不是指定誤差來計算，當然指定誤差也是可以的，考慮一種迴圈，每次n都增加1，就可以完成這個目標了，但是這樣運算　　　　        量會越來越大，所以推薦使用另一種方法，即公式本身具有的誤差，可以又其本身和其n階導數一起表示出來，具體的見數值分析相關書籍。

• 自適應積分法

　　　　這種方法我以前也沒有過接觸，書上講它的基本思想是越是陡峭（導數大）的函數，需要的分割越細，越是平坦（導數小）的函數，需要的分割越少。詳細            的，在進行運算的時候，先限定一個誤差，然後將函數分割為兩半，每邊的誤差均是誤差的一半。這種方法的程式我再思考一下，還沒想到怎麼實現較好。

 

　　　　

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