遞迴和遞推，遞迴遞推

遞迴和遞推，遞迴遞推

遞迴的概念

一個函數、過程、概念或資料結構，如果在其定義或說明內部直接或間接地出現有其本身的引用，或者是為了描述問題的某一狀態，必須用到它的上一狀態，而描述上一狀態，又必須用到它的上一狀態……這種用自己來定義的方法，稱之為遞迴或者遞迴定義。
在程式設計中，過程或函數直接或者間接調用自己，就稱為遞迴調用

遞迴過程實際上藉助於一個遞迴工作棧來實現的。
首先問題向一個方向一步一步分解，既問題規模逐漸降低，這樣，問題向一極推進的過程稱之為遞迴過程；
然後這些問題又按後提出先解決的順序依次得到解決，最後得到原問題的解。這樣，在子問題得到逐一解決的基礎上，最後回到原問題的解的變化過程，稱之為迴歸過程。

遞迴定義的要素

1、遞迴邊界或終止條件。
2、遞迴定義，使問題向邊界條件轉化的規則。

var
  n:integer;
function fibonacci(x:integer):integer;
begin
  if (x=0) or (x=1) then exit(1);
  exit(fibonacci(x-1)+fibonacci(x-2));
end;
begin
  readln(n);
  writeln(fibonacci(n));
end.

集合的劃分

設ｓ是一個具有n個元素的集合，ｓ＝｛a1，a2，……，an｝，現將ｓ劃分成K個滿足下列條件的子集合s1，s2，……，sk ，且滿足：
        1．si≠φ
        2．si∩sj＝φ         (1≤i，j≤k  i≠j)
        3．s1∪s2∪s3∪…∪sk＝ｓ
則稱s1，s2，……，sk是集合ｓ的一個劃分。它相當於把ｓ集合中的n個元素a1 ，a2，……，an 放入k個（0<k≤n<30）無標號的盒子中，使得沒有一個盒子為空白。請你確定n個元素a1 ，a2 ，……，an 放入k個無標號盒子中去的劃分數s(n，k)。

先舉個例子，設S＝｛1，2，3，4｝，k＝3，不難得出ｓ有6種不同的劃分方案，即劃分數s(4，3)=6，具體方案為：
｛1，2｝∪｛3｝∪｛4｝    
｛1，3｝∪｛2｝∪｛4｝    
｛1，4｝∪｛2｝∪｛3｝
｛2，3｝∪｛1｝∪｛4｝    
｛2，4｝∪｛1｝∪｛3｝    
｛3，4｝∪｛1｝∪｛2｝

考慮一般情況，對於任意的含有n個元素a1 ，a2，……，an的集合s，放入k個無標號的盒子中去，劃分數為s(n，k)，我們很難憑直覺和經驗計算劃分數和枚舉劃分的所有方案，必須歸納出問題的本質。
下面考慮對任一個元素an，則必然出現以下兩種情況：
1、｛an｝是k個子集中的一個，於是我們只要把a1，a2，……，an-1 劃分為k－1子集，便解決了本題，這種情況下的劃分數共有s(n－1，k－1)個；
2、｛an｝不是k個子集中的一個，則an必與其它的元素構成一個子集。則問題相當於先把a1，a2，……，an-1 劃分成k個子集，這種情況下劃分數共有ｓ(n－1，k)個；然後再把元素an加入到k個子集中的任一個中去，共有k種加入方式，這樣對於an的每一種加入方式，都可以使集合劃分為k個子集，因此根據乘法原理，劃分數共有k*ｓ(n－1，k)個。

綜合上述兩種情況，應用加法原理，得出n個元素的集合｛a1，a2，……，an｝劃分為k個子集的劃分數為以下遞迴公式：
ｓ(n，k)＝ｓ(n－1，k－1)+k*s(n－1，k) (n>k，k>0)。

確定s(n，k)的邊界條件

首先不能把n個元素不放進任何一個集合中去，即k=0時，ｓ(n，k)＝0；
也不可能在不允許空盒的情況下把n個元素放進多於n的k個集合中去，即k＞n時,ｓ(n，k)＝0；
再者，把n個元素放進一個集合或把n個元素放進n個集合，方案數顯然都是1，即k=1或k=n時，s(n,k)=1。
可以得出劃分數ｓ(n，k)的遞迴關係式為：
s(n，k)＝s(n－1，k－1)+k*s(n－1，k)            (n>k，k>0)
s(n，k)＝0                                     (n<k)或(k＝0)
s(n，k)＝1                                     (k=1)或(k＝n)

遞迴與非遞迴的轉化

在遞迴調用的過程中，由於要保留每次調用時的參數和局部變數，而且要經過逐層調用和逐層返回兩大過程，程式對於時間和儲存空間的耗費可以說是巨大的。因此，在一個問題對於時空要求較高的情況下，有時不得不將遞迴方法轉化成非遞迴方法，這一過程，常常稱之為消除遞迴。消除遞迴的過程，其本質上就是要求類比複雜的遞迴工作棧的變化過程，雖然遞迴與非遞迴在形式上大多能夠相互轉化，但是，非遞迴的編程難度要遠遠高於遞迴的方法

遞推

在問題類型中，每個資料項目都和它前面的若干個資料項目（或後面的若干個資料項目）有一定的關聯，這種關聯一般是通過一個遞推關係式來表示的。求解問題時就從初始的一個或若干個資料項目出發，通過遞推關係式逐步推進，從而得到最終結果。這種求解法就叫遞推法

var
  a:array[0..100] of longint;
  i:integer;
begin
  readln(n);
  a[0]:=1;
  a[1]:=1;
  for i:=2 to n do
    a[i]:=a[i-1]+a[i-2];
  writeln(a[n]);
end.

演算法架構

1、確定求解初始條件
2、求出遞推公式
3、從邊界出發進行順推或反向推算
4、輸出結果

具體詳見：

http://download.csdn.net/download/boyxiejunboy/8913331

http://download.csdn.net/download/boyxiejunboy/8913339

http://download.csdn.net/download/boyxiejunboy/8913343

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