遞迴原來可以so easy

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引子

從前有座山，山上有座廟，廟裡有個老和尚，老和尚在給小和尚講故事，故事講的是從前有座山，山上有座廟，廟裡有個老和尚，老和尚在給小和尚講故事，故事講的是從前有座山，山上有座廟，廟裡有個老和尚，老和尚在給小和尚講故事，故事講的是從前有座山，山上有座廟，廟裡有個老和尚，老和尚在給小和尚講故事，故事講的是從前有座山，山上有座廟，廟裡有個老和尚，老和尚在給小和尚講故事，故事講的是......

這個例子，如果用java程式來示範，會是這個樣子：

public class Hello {    public static void main(String[] args) {        sayStory();           }    static void sayStory(){        System.out.println("從前有座山，山上有座廟，廟裡有個老和尚，老和尚在給小和尚講故事，故事講的是");        sayStory();    }   }

程式運行結果：

故事在一直講下去。

看一下java代碼中，在方法sayStory()中又調用了sayStory()。

遞迴概述什麼是遞迴

　　遞迴，英文為Recursion， 在電腦科學中，遞迴指得是在函數的定義中使用函數自身。
遞迴，包含了兩個意思：遞 和 歸。遞是只傳遞下去，歸是指歸來，也就是說，遞迴有去也有回。
那麼，上面的講故事的程式，算遞迴程式嗎？
在方法sayStory()中又調用了sayStory()，符合遞迴的一個條件，即傳遞，但是，這個程式，沒有歸來，所以，程式會一直運行下去，直到資源耗盡，程式出錯：

因此，這不是個完整的遞迴程式。
遞迴要素
首先，遞迴必須要申明一個函數，且在函數中調用自身。
另外，遞迴要有明確的終止條件，遞迴就是有去有回，必然有一個明確的重點，到達這個終點後，就不再往下遞，而是開始往迴歸來。

遞迴的內涵

? 遞迴的核心思想，就是把規模大的問題轉化為規模小的相似的子問題來解決。在函數實現時，因為解決大問題的方法和解決小問題的方法往往是同一個方法，所以就產生了函數調用它自身的情況，這也正是遞迴的定義所在。
考慮一下，遞迴的數學模型，很像數學歸納法。數學歸納法適用於將解決的原問題轉化為解決它的子問題，而它的子問題又變成子問題的子問題。歸納法解決數學問題一般分為下面3個步驟：
1：步進運算式：問題演算成子問題的運算式
2：結束條件：什麼時候可以不再使用步進運算式
3：求解運算式：在結束條件下能夠直接計算傳回值的運算式

比如，斐波那契數列，使用數學歸納法，3個步驟為：
1： 推匯出計算運算式： F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
2：結束條件：n=1,n=2時
3：求解運算式： F(1)=F(2)=1

遞迴的編程模型

　　 明確了遞迴的數學模型後，我們就要看，如果通過編程來實現遞迴。一般的，有兩種編程模型：

模型一： 先處理問題，然後再往下傳遞
遞迴函式(大規模){
if (end_condition){ // 遞迴終止條件
end;
}else{
solve; // 處理問題
遞迴函式(小規模); // 分解問題規模，傳遞下去
}
}

模型二： 在歸來的過程中處理問題
遞迴函式(大規模){

    if (end_condition){      // 遞迴終止條件        end; }else{     遞迴函式(小規模);  //分解問題規模，傳遞下去        solve;            // 歸來，處理問題    }}

下面，示範一下，使用遞迴的編程模型，解決斐波那契數列問題。
首先，需要什麼一個函數，問題規模為n，問題的結果為一個整數。
則函數可以聲明為：int fib(int n)
然後，確定終止條件： n=1,n=2時
3：求解運算式：
F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
F(1)=1,F(2)=1

則代碼如下：

案例示範階乘

階乘n!的數學定義： n!=1234…..(n-1)n，並規定 1!=1。
因此，2!=21=2(1!)，3!=3(21)=3(2!)，
4!=4(321)=4(3!)
5!=5(4321)=54!
根據規律，可以推斷出： n!=n*(n-1)!，這就是階乘的遞迴公式。
並且可以明確遞迴的終止條件n=1,終止時的值為1。

下面，想一下，如何用java程式來實現呢？
遞迴函式原型，可以什麼為：int factorial(int n);
則函數的遞迴調用運算式為： factorial(n)=n* factorial(n-1)

具體代碼如下：

public class Hello {    public static void main(String[] args) {        Scanner sc = new Scanner(System.in);        System.out.println("請輸入n：");        int n = sc.nextInt();        int f = factorial(n);        System.out.println("結果是：" + f);    }    static int factorial(int n) {        if (n == 1)            return 1;        else            return n * factorial(n - 1);    }}

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