整數劃分問題的遞迴解法

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轉自https://www.skymoon.biz/archives/192

整數劃分問題是演算法中的一個經典命題之一，有關這個問題的講述在講解到遞迴時基本都將涉及。所謂整數劃分，是指把一個正整數n寫成如下形式：

n=m1+m2+…+mi; （其中mi為正整數，並且1 <= mi <= n），則{m1,m2,…,mi}為n的一個劃分。
如果{m1,m2,…,mi}中的最大值不超過m，即max(m1,m2,…,mi)<=m，則稱它屬於n的一個m劃分。這裡我們記n的m劃分的個數為f(n,m);
例如但n=4時，他有5個劃分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};
注意4=1+3 和 4=3+1被認為是同一個劃分。
該問題是求出n的所有劃分個數，即f(n, n)。下面我們考慮求f(n,m)的方法;

根據n和m的關係，考慮以下幾種情況：
（1）當n=1時，不論m的值為多少（m>0)，只有一種劃分即{1};
(2) 當m=1時，不論n的值為多少，只有一種劃分即n個1，{1,1,1,…,1};
(3) 當n=m時，根據劃分中是否包含n，可以分為兩種情況：
(a). 劃分中包含n的情況，只有一個即{n}；
(b). 劃分中不包含n的情況，這時劃分中最大的數字也一定比n小，即n的所有(n-1)劃分。
因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
(4) 當n<m時，由於劃分中不可能出現負數，因此就相當於f(n,n);
(5) 但n>m時，根據劃分中是否包含最大值m，可以分為兩種情況：
(a). 劃分中包含m的情況，即{m, {x1,x2,…xi}}, 其中{x1,x2,… xi} 的和為n-m，可能再次出現m，因此是（n-m）的m劃分，因此這種劃分
個數為f(n-m, m);
(b). 劃分中不包含m的情況，則劃分中所有值都比m小，即n的(m-1)劃分，個數為f(n,m-1);
因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

綜合以上情況，我們可以看出，上面的結論具有遞迴定義特徵，其中（1）和（2）屬於迴歸條件，（3）和（4）屬於特殊情況，將會轉換為情況（5）。而情況（5）為通用情況，屬於遞推的方法，其本質主要是通過減小m以達到迴歸條件，從而解決問題。其遞推運算式如下：
f(n, m)= 1; (n=1 or m=1)
f(n, n); (n<m)
1+ f(n, m-1); (n=m)
f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)

 

 1 #include<stdio.h> 2  3 int equationCount(int, int); 4  5 int main(void) 6 { 7     int num; 8  9     while(scanf("%d", &num) != EOF)10         printf("%d\n", equationCount(num, num));11 12     return 0;13 }14 15 int equationCount(int n, int m)16 {17     if(n < 1 || m < 1)18         return 0;19     if(n == 1 || m == 1)20         return 1;21     if(n < m)22         return equationCount(n, n);23     if(n == m)24         return equationCount(n, m - 1) + 1;25     return equationCount(n, m - 1) + equationCount(n - m, m);26 }

 

整數劃分問題的遞迴解法