紅/黑樹狀結構二

      紅/黑樹狀結構是棵二叉搜尋樹，紅/黑樹狀結構的刪除操作首先要按照二叉搜尋樹的規則進行。如下：要刪除節點 z（為5），實際上刪除的是z的右子樹的最小值y，再把y的值賦給z節點。：

     

 

      接著我們再考慮紅/黑樹狀結構。

      1. 刪除的節點y 是紅色，我們不處理，它還是一個紅/黑樹狀結構。

      2. y節點是黑色，且 x 節點是紅色，只需要把 x 的顏色改為黑色就可以了，黑色節點的個數就不會發生變化。

      只剩下 y 節點是黑色， x 節點也是黑色這種情況。

 

      case 1： x 為黑色，px（是原本y的父節點）也為黑色，w 為紅色。

        操作： 先把 px 染成紅色， w 染成黑色， 再對 w 進行左旋操作。新的 x 指向 原來x 節點，（白色節點現在表示不關心顏色），w 指向 c 節點。繼續調用刪除操作。

       為什麼 x 指向 x 節點呢？ 我們用 count（x）表示 x 節點到葉子節點路徑中黑色節點的個數。設 count（px），

則count（x）= count（px）- 2 ；因為中間刪除了黑色的y節點。count（a） = count（b） = count（px）- 1 ；則 count（x）仍然比count（a）小1，繼續調用。

 

     

 

         case 2 ： x 為黑色，w 為黑色，a 、b 也為黑色。只需簡單的把 w 染成紅色。新的 x 指向 px 節點。

                         變化前：設有count（px）= m， count（x） = m - 2 。count（w） =  m - 1 。

                         變換之後：count（w） =  m - 2 ，count（x） = m - 2 ， 則 count（px）=  m - 1 。

                         相當於px 的一個黑色父節點被刪除。                       

          

         case 3： x 為黑色，w 也為黑色，a 為紅色，b為黑色。（我們不關心px的顏色）。

                        先是 a 做右旋轉操作，再把 a 染成黑色，w 染成紅色，x 仍指向x ，w 指向 a 節點。證明同上。

          

 

           case 4 ：  x 為黑色， w 為黑色，b 為紅色，a為黑色或紅色。

                操作： 對 w 進行 左旋轉操作，再把 w 染成 原來 px 的顏色，b 染成黑色，px 染成黑色，其他不表。

                           這種情況，可以結束了。

                用同樣的方法可以證明。

           

 

      刪除操作的時間複雜度：O(lgn)。

      至此，紅/黑樹狀結構的插入刪除操作完成。