IEEE 754 浮點數在電腦中的表示方法

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IEEE二進位浮點數算術標準（IEEE 754）是20世紀80年代以來最廣泛使用的浮點數運算標準，為許多CPU與浮點運算器所採用。這個標準定義了表示浮點數的格式（包括負零-0）與反常值（denormal number）），一些特殊數值（無窮（Inf）與非數值（NaN）），以及這些數值的“浮點數運算子”；它也指明了四種數值舍入規則和五種例外狀況（包括例外發生的時機與處理方式）。

IEEE 754規定了四種表示浮點數值的方式：單精確度（32位）、雙精確度（64位）、延伸單精確度（43位元以上，很少使用）與延伸雙精確度（79位元以上，通常以80位元實做）。只有32位元模式有強制要求，其他都是選擇性的。大部分程式設計語言都有提供IEEE浮點數格式與算術，但有些將其列為非必需的。例如，IEEE 754問世之前就有的C語言，現在有包括IEEE算術，但不算作強制要求（C語言的float通常是指IEEE單精確度，而double是指雙精確度）。

該標準的全稱為IEEE二進位浮點數算術標準（ANSI/IEEE Std 754-1985），又稱IEC 60559:1989，微處理器系統的二進位浮點數算術（本來的編號是IEC 559:1989）[1]。後來還有“與基數無關的浮點數”的“IEEE 854-1987標準”，有規定基數為2跟10的狀況。現在最新標準是“IEEE 854-2008標準”。

在六、七十年代，各家電腦公司的各個型號的電腦，有著千差萬別的浮點數表示，卻沒有一個業界通用的標準。這給資料交換、電腦協同工作造成了極大不便。IEEE的浮點數專業小組於七十年代末期開始醞釀浮點數的標準。在1980年，英特爾公司就推出了單片的8087浮點數副處理器，其浮點數標記法及定義的運算具有足夠的合理性、先進性，被IEEE採用作為浮點數的標準，於1985年發布。而在此前，這一標準的內容已在八十年代初期被各電腦公司廣泛採用，成了事實上的業界工業標準。

 

IEEE 754浮點數的三個域

 

• 單精確度二進位小數，使用32個位元儲存。

1	8	23　位長
S	Exp	Fraction
31	30至23 偏正值（實際的指數大小+127）	22至0　位編號（從右邊開始為0）

S為符號位，Exp為指數字，Fraction為有效數字。 指數部分即使用所謂的偏正值形式表示，偏正值為實際的指數大小與一個固定值（32位的情況是127）的和。採用這種方式表示的目的是簡化比較。因為，指數的值可能為正也可能為負，如果採用補碼錶示的話，全體符號位S和Exp自身的符號位將導致不能簡單的進行大小比較。正因為如此，指數部分通常採用一個無符號的正數值儲存。單精確度的指數部分是−126～+127加上位移值127，指數值的大小從1～254（0和255是特殊值）。浮點小數計算時，指數值減去偏正值將是實際的指數大小。

 

• 雙精確度二進位小數，使用64個位元儲存。

1	11	52　位長
S	Exp	Fraction
63	62至52 偏正值（實際的指數大小+1023）	51至0　位編號（從右邊開始為0）

S為符號位，Exp為指數字，Fraction為有效數字。指數部分即使用所謂的偏正值形式表示，偏正值為實際的指數大小與一個固定值（64位的情況是1023）的和。採用這種方式表示的目的是簡化比較。因為，指數的值可能為正也可能為負，如果採用補碼錶示的話，全體符號位S和Exp自身的符號位將導致不能簡單的進行大小比較。正因為如此，指數部分通常採用一個無符號的正數值儲存。雙精確度的指數部分是−1022～+1023加上1023，指數值的大小從1～2046（0（2進位全為0）和2047（2進位全為1）是特殊值）。浮點小數計算時，指數值減去偏正值將是實際的指數大小。

• 利用C語言實現IEEE浮點數二進位與十進位轉換

 1 #include "stdafx.h" 2 #include "stdio.h" 3 #include "time.h" 4 #include <iostream> 5 #include <bitset> 6  7 using namespace std; 8  9 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])10 {11     float A=1.25;12     float B;13     _ULonglong nMem = *(_ULonglong *)&A;             // 擷取記憶體中儲存的A的值14     bitset<32> BitA(nMem);                          // 按照32位浮點數格式表達15     cout<<"轉換結果為二進位："<<endl;16     cout<<BitA<<endl;17 18     B= *(float *)&BitA;             // 擷取記憶體中儲存的input的值並按浮點數格式表達19     cout<<"轉換結果為十進位："<<endl;20     cout<<B<<endl;21 }