有N個數的數組，找出這個數組中的兩個數，使得這兩個數的和最接近0

有N個數的數組，沒有順序。現在的問題是讓你在數組中找出兩個數，使得這兩個數的和儘可能的接近0。

想到的的方法是嘗試所有數對<xi,xj>的組合，之後找出其中和的絕對值最小的數對即可。但是這樣做的時間複雜度是O(N^2)，有沒有更快一點的方法呢？

這裡給出一個O(NlogN)時間複雜度的演算法。

有一種比較直觀的做法。

對數組排好序之後。如果數字全部是正數，那麼取最小的兩個數的和。如果數字全部是負數，則取最大的兩個數位和。如果數字有正有負。那麼我們必須枚舉每一個xi，之後用二分在數組中找小於等於-xi的最大值和大於等於-xi的最小值。能與xi構成和的絕對值最小的數字，肯定就是這兩個數字中的某一個。所有的xi都枚舉過之後，我們就可以找出和的絕對值最小值了。時間複雜度是O(NlogN)。

還有一種比較簡便的做法，但是證明有些複雜。

1:對數組中的數進行從小到大排序。
2:設定兩個遊標，一個指向第一個數，另一個指向最後一個數，之後進行如下操作：把遊標處的兩個數相加取絕對值，與記錄當前已經得到的最小絕對值比較，小則記錄。之後對遊標處的數的絕對值進行比較，移動指向數字絕對值較小的遊標(如果是左面的遊標指向的數字絕對值小，則向右移動，否則右面的遊標向左移動)。迴圈此步驟，直至找到最小絕對值0或者遊標相遇。

舉個例子：原始序列：-2 3 4 -7 9 5排序後：-7 -2 3 4 5 9尋找過程：res = MAX_INF;-7 -2 3 4 5 9|           |         res = 2-7 -2 3 4 5 9|         |           res = 2-7 -2 3 4 5 9    |     |           res = 2-7 -2 3 4 5 9    |   |             res = 2-7 -2 3 4 5 9    | |               res = 1-7 -2 3 4 5 9    |                 res = 1

　　雖然給出了這樣的演算法，但是怎麼證明該演算法是正確的？以下的證明很繁瑣。

證明:

設排好序的序列為

x[1],x[2],......,x[i],x[i+1],......,x[j],x[j+1],......,x[n-1],x[n]

假設最優解為<x[i],x[j]>

x[1],x[2],......,x[i],x[i+1],......,x[j],x[j+1],......,x[n-1],x[n]
                              |                                   |

如果演算法是正確的，那麼必須得證明演算法執行過程中遊標不會錯過最優解。

初始時，遊標為<1, n>，顯然沒有錯過最優解。之後每步，都有一個遊標移動。那麼肯定有一個遊標會先到達最優位置。例如左面的遊標最先到達x[i]的位置，而另一個遊標的位置為k>j

x[1],x[2],....,x[i],x[i+1],....,x[j],x[j+1],....x[k],....,x[n-1],x[n]
                 |                                |

下面分情況討論：

(1): x[i] > 0

這種情況下，顯然 x[j] > 0 , x[k] > 0，並且x[i]+x[k] > x[i]+x[j]，那麼把右面的遊標向左移動會更優，並且不會錯過最優解。

(2): x[i] < 0，x[j] > 0

這種情況下又分3中小情況。

2.1: x[i]+x[j] > 0

這種情況下，x[i]+x[k] > 0 並且x[i]+x[j] < x[i]+x[k] (因為x[j]<x[k])，那麼把右面的遊標向左移動會更優，並且不會錯過最優解。

2.2: x[i]+x[j] < 0, x[i]+x[k] < 0

這種情況下，顯然|x[i]+x[k]| < |x[i]+x[j]|，推出<x[i],x[j]>不是最優解，這與假設相矛盾，所以在遇到最優解之前，這種情況不會出現。

2.3: x[i]+x[j] < 0, x[i]+x[k] > 0

這種情況下有|x[i]+x[j]| < x[i]+x[k]=>-x[i]-x[j]<x[i]+x[k]=>x[j]+x[k] > -2*x[i] => x[k] > -x[i] = |x[i]| (因為x[j] < -x[i])。也就是說，在這種情況下，我們會移動位置為k那個遊標，而不會移動位置為i那個遊標，所以不會錯過最優解。

(3): x[i] < 0, x[j] < 0

這種情況下又繼續分成兩種小情況。

3.1 x[k] < 0

這種情況下<x[i],x[j]>不是最優解，這與假設相矛盾，所以在遇到最優解之前這種情況不會出現。

3.2 x[k] > 0

這種情況下也分兩種小情況。

3.2.1 x[i]+x[k] < 0

|x[i]+x[j]| < |x[i]+x[k]| => -x[i]-x[j] < -x[i]-x[k] => x[j] > x[k],這與x[j] < x[k]相矛盾，因為x是排好序的數組。所以這種情況在遇到最優解之前不會出現。

3.2.2 x[i]+x[k] > 0

|x[i]+x[j]| < |x[i]+x[k]| => -x[i]-x[j] < x[i]+x[k] => x[k]+x[j] > -2*x[i]=> x[k] > -2*x[i]-x[j] => x[k] > |x[i]|。也就是說，在這種情況下，我們會移動位置為k那個遊標，而不會移動位置為i那個遊標，所以不會錯過最優解。

由對稱性可證明當右面的遊標先到達x[j]時這種情況。

綜上所述可知，只要重複演算法的過程，那麼我們的遊標肯定能夠到達最優解<i,j>的狀態，而我們採用的方法又是不斷記錄最小值，那麼我們肯定能夠得到最優解。