求到n個點距離之和最小的位置

主　　題：   一道數學問題：求到n個點距離之和最小的位置。 mathe來看看；）
作　　者：   rickone (RickOne)
等　　級：   
信 譽 值：   100
所屬論壇：   專題開發 資料結構與演算法
問題點數：   50
回複次數：   21
發表時間：   2005-2-24 19:26:57
  
  

程式輸入n個點的座標形式(xi,yi)[i=1 to n]
輸出一個點的位置(x,y)
使得S=∑Sqrt((x-xi)^2+(y-yi)^2)[i=1 to n]最小，即這個點到n個已知點的距離之和最小。

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 回複人：mathe() ( 一星(中級)) 信譽：110  2005-2-25 10:44:27  得分:0
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可以用迭代法
任取(x,y)=(u,v)
比如可以取u=(x1+...+xn)/n,v=(y1+...+yn)/n
然後在每一步，計算：
A=Sum{(v-yi)^2/((u-xi)^2+(v-yi)^2)^(3/2)}
B=Sum{(u-xi)(v-yi)/((u-xi)^2+(v-yi)^2)^(3/2)}
C=Sum{(u-xi)^2/((u-xi)^2+(v-yi)^2)^(3/2)}
du=(C*u-B*v)/(A*C-B*B) dv=(A*v-B*u)/(A*C-B*B)
Let u-=du, v-=dv
一直計算下去，知道du, dv充分小。
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 回複人：mathe() ( 一星(中級)) 信譽：110  2005-2-25 13:22:25  得分:0
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迭代公式寫錯了
應該是B=-Sum{(u-xi)(v-yi)/((u-xi)^2+(v-yi)^2)^(3/2)}
du=(C*fu-B*fv)/(A*C-B*B) dv=(A*fv-B*fu)/(A*C-B*B)
其中fu=Sum{(u-xi)/sqrt((u-xi)^2+(v-yi)^2)}
fv=Sum{(v-xi)/sqrt((u-xi)^2+(v-yi)^2)}
其實就是想用牛頓迭代法求fu=0,fv=0
實際計算中，不知道為什麼，很快就會出現S=Sum{sqrt((u-xi)^2+(v-yi)^2)}變大
當出現這種情況，我們可以讓迭代中止，這時誤差應該很小了，
因為函數S是凸函數
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 回複人：mathe() ( 一星(中級)) 信譽：110  2005-2-25 13:30:35  得分:0
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剛才發現一個問題，我們還需要檢驗一些特殊的解：
x=xi,y=yi;
我遇上一組解，迭代結果不收斂
Source points:
0.840188,0.394383
0.783099,0.798440
0.911647,0.197551
0.335223,0.768230
0.277775,0.553970
0.477397,0.628871
0.364784,0.513401
0.952230,0.916195
0.635712,0.717297
0.141603,0.606969
結果發現，最佳解幾乎正好在(0.477397,0.628871)處，就是第四組數
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 回複人：happy__888([顧問團]尋開心) ( 兩星(中級)) 信譽：124  2005-2-25 14:14:32  得分:0
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用這種辦法需要理論上證明，距離和的運算式上的凸點分布和x，y分量之間的關係
極值點全域唯一還是不唯一是影響到迭代結果的
有可能會陷入局部最優點而達不到全域最優點的

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 回複人：mathe() ( 一星(中級)) 信譽：110  2005-2-25 15:34:19  得分:0
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函數S是凸函數！！！