按位取反 補碼

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按位取反再加一（補碼）

 按位取反再加1是一個互逆運算。a取反加一，再取反加一，還等於a 

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在電腦中，減法可以用加法來代替，用的就是補碼。說道補碼，就得說道“模”這個概念。假如我有一個電腦，它只有四個bit，這四個bit所能表示的值的範圍用二進位表示是0000到1111，即從0到15。這樣，這個電腦就只能表示這16個數，別的東西它就無法表示了。這個16就是這個電腦的“模”，在這個電腦上進行的計算只能在“模”的表示範圍之內。

如果我們要計算5-3的值，我們既可以用5減去3，也可以用5加上13。這是為什麼呢？這就像我們的鐘錶，它從1點走到12點之後，又回到了1點。我們的電腦也是，從0走到15之後，再往下走就又回到了0，就像我們轉了一個圈一樣。我們從5這個位置往回退3個格，就完成了5-3這個計算。我們也可以從5這個位置往前走，一直走到15，這時我們走了10個格，然後我們繼續往前走，走到0，然後到1，然後就走到了2。這樣，我們往前走了13個格之後，也到了2這個位置。所以說，在我們這個電腦中，減3和加13是一樣的。而3+13=16，我們說在模16的系統下，3和13是互補的。

這樣，我們計算5-3就可以換成5+13。3的二進位表示為0011，5的二進位表示為0101。這樣，0101-0011就可以表示為0101+（-0011）。我們在電腦中都是把負數用其補碼錶示，-0011的補碼就是10000-0011（即16-3，也就是13）。10000-0011=1+1111-0011=1+（1111-0011）=1+1100=1101。我們總說補碼是“按位取反再加一”，看了上面這個式子相信大家就會明白了，其實就是把10000-0011換成了1111-0011再加1的形式。然後，0101-0011就換成了0101+1101，它們計算出來的結果為10010。由於我們的電腦只有四個bit，所以結果為0010。即，在模16的電腦中，5-3=5+13=2。

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先看正碼錶示，設N=4, -1 = 1001; -2 = 1010, -1 > -2， 但是 1001 < 1010，兩種映射的編碼的序性不一致

 

反碼呢，-1=1110, -2 = 1101,  Ok，序性正確了，

 

然而，這裡有一個問題，就是正數與負數之間，有一個1的縫隙。-1=1110， 1=0001，從迴圈編碼的角度，這兩個編碼相差3：1110->1111->0000->0001。

 

因為正零和負零是兩個數，導致兩個數系的斷裂。怎麼辦？讓負數整體往正數靠攏，邁進一步（+1），負1沒有了。

 

這就是求補的過程了。反碼再加1。 

 

我想，當初寫出電腦的編碼設計論文的大牛（好像是圖靈還是什麼的），當然有更深的考慮。但從序性和數系聯絡的角度，補碼的發明是相當合理的。而這種合理性，我個人認為，正是其優點。

 

 從機器實現的角度，並不算複雜，但相對反碼的機器實現，還是多了+1的進位延時。------------------------------------

任何一個數都可以表示為-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a;

這個假設a為正數，那麼-a就是負數。而根據二進位轉十進位數的方法，我們可以把a表示為：a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2），第（n-1）位為符號位不計算在內。

這裡k0,k1,k2,k(n-2）是1或者0，而且這裡設a的二進位位元為n位，即其模為2^(n-1），而2^(n-1）其二項展開是：1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2），而式子：-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，2^(n-1)-a代入a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2）和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2）兩式，2^(n-1)-a=(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1-k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1，而這步轉化正是取反再加1的規則的代數原理所在。因為這裡k0,k1,k2,k3……不是0就是1，所以1－k0,1-k1,1-k2的運算就是二進位下的取反，而為什麼要加1，追溯起來就是2^(n-1）的二項展開式最後還有一項1的緣故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，還有-2^(n-1）這項未解釋，這項就是補碼裡首位的1，首位1在轉化為十進位時要乘上2^(n-1），這正是n位二進位的模。

不能貼公式，所以看起來很麻煩，如果寫成代數式子看起來是很方便的。

註：n位二進位，最高位為符號位，因此表示的數值範圍-2^(n-1) ——2^(n-1) -1，所以模為2^(n-1）。上面提到的8位二進位模為2^8是因為最高位非符號位，表示的數值範圍為0——2^8-1。    

 

 

 

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