RMQ演算法 （ST演算法）

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 概述：

　　RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即區間最值查詢，是指這樣一個問題：對於長度為n的數列A，回答若干詢問RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回數列A中下標在i，j之間的最小/大值。對於一次查詢，可以暴力地O(n)，但是當查詢次數很多的時候，這樣的暴力就無法進行了。這時我們可以通過RMQ演算法來解決這個問題。

RMQ(ST)：（關於學習RMQ的部落格：架構即講解比較詳細 ， 具體代碼比較好）

　　ST（Sparse Table）演算法是一個非常有名的線上處理RMQ問題的演算法，它可以在O(nlogn)時間內進行預先處理，然後在O(1)時間內回答每個查詢。

　　首先是預先處理，用動態規劃（DP）解決。設A[i]是要求區間最值的數列，F[i, j]表示從第i個數起連續2^j個數中的最大值。例如數列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7，F[1，0]表示第1個數起，長度為2^0=1的最大值，其實就是3這個數。 F[1，2]=5，F[1，3]=8，F[2，0]=2，F[2，1]=4……從這裡可以看出F[i,0]其實就等於A[i]。這樣，DP的狀態、初值都已經有了，剩下的就是狀態轉移方程。我們把F[i，j]平均分成兩段（因為f[i，j]一定是偶數個數字），從i到i+2^(j-1)-1為一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1為一段(長度都為2^（j-1）)。用上例說明，當i=1，j=3時就是3,2,4,5 和 6,8,1,2這兩段。F[i，j]就是這兩段的最大值中的最大值。於是我們得到了動態規劃方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

然後是查詢。取k=[log2(j-i+1)]，則有：RMQ(A, i, j)=min{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}。 舉例說明，要求區間[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]兩個區間，因為這兩個區間的最大值我們可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。

void ST(int N){    for(int i=1;i<=N;i++) dp[i][0] = vec[i];    for(int j=1;(1<<j) <= N;j++)    {        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=N;i++)        {            dp1[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<j-1)][j-1]); //由於移位操作的優先度低，1<<j-1 = 1<<(j-1);        }    }}int RMQ(int l,int r){    int k = 0;    while((1<<k+1) <= r-l+1) k++;    return max(dp1[l][k],dp1[r-(1<<k)+1][k]);}

 

POJ-2364

 1 #include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<cstdio> 4 using namespace std; 5 const int MAX_N = 5e4+9; 6 const int INF = 1e9+7; 7 int vec[MAX_N]; 8 int dp1[MAX_N][25]; 9 int dp2[MAX_N][25];10 void ST(int N)11 {12     for(int i=1;i<=N;i++) dp1[i][0] = dp2[i][0] = vec[i];13     for(int j=1;(1<<j)<=N;j++)14     {15         for(int i=1;i+(1<<j)-1 <= N;i++)16         {17             dp1[i][j] = max(dp1[i][j-1],dp1[i+(1<<j-1)][j-1]);18             dp2[i][j] = min(dp2[i][j-1],dp2[i+(1<<j-1)][j-1]);19         }20     }21 }22 int RMQ(int l,int r)23 {24     int k = 0;25     while((1<<k+1) <= r-l+1) k++;26     return max(dp1[l][k],dp1[r-(1<<k)+1][k]) - min(dp2[l][k],dp2[r-(1<<k)+1][k]);27 }28 int main()29 {30     int N,M,T;31     while(cin>>N>>M)32     {33         for(int i=1;i<=N;i++)34         {35             scanf("%d",&vec[i]);36         }37         ST(N);38         for(int i=0;i<M;i++)39         {40             int l,r;41             scanf("%d%d",&l,&r);42             int ans = RMQ(l,r);43             printf("%d\n",ans);44         }45     }46     return 0;47 }

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