【RMQ & LCA】

演算法之LCA與RMQ問題

1、  概述

LCA（Least Common Ancestors），即最近公用祖先，是指這樣一個問題：在有根樹中，找出某兩個結點u和v最近的公用祖先（另一種說法，離樹根最遠的公用祖先）。 RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即區間最值查詢，是指這樣一個問題：對於長度為n的數列A，回答若干詢問RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回數列A中下標在i，j之間的最小/大值。這兩個問題是在實際應用中經常遇到的問題，本文介紹了當前解決這兩種問題的比較高效的演算法。

2、  RMQ演算法

對於該問題，最容易想到的解決方案是遍曆，複雜度是O(n)。但當資料量非常大且查詢很頻繁時，該演算法也許會存在問題。

本節介紹了一種比較高效的線上演算法（ST演算法）解決這個問題。所謂線上演算法，是指使用者每輸入一個查詢便馬上處理一個查詢。該演算法一般用較長的時間做預先處理，待資訊充足以後便可以用較少的時間回答每個查詢。ST（Sparse Table）演算法是一個非常有名的線上處理RMQ問題的演算法，它可以在O(nlogn)時間內進行預先處理，然後在O(1)時間內回答每個查詢。

首先是預先處理，用動態規劃（DP）解決。設A[i]是要求區間最值的數列，F[i, j]表示從第i個數起連續2^j個數中的最大值。例如數列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7，F[1，0]表示第1個數起，長度為2^0=1的最大值，其實就是3這個數。 F[1，2]=5，F[1，3]=8，F[2，0]=2，F[2，1]=4……從這裡可以看出F[i,0]其實就等於A[i]。這樣，DP的狀態、初值都已經有了，剩下的就是狀態轉移方程。我們把F[i，j]平均分成兩段（因為f[i，j]一定是偶數個數字），從i到i+2^(j-1)-1為一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1為一段(長度都為2^（j-1）)。用上例說明，當i=1，j=3時就是3,2,4,5
和 6,8,1,2這兩段。F[i，j]就是這兩段的最大值中的最大值。於是我們得到了動態規劃方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

然後是查詢。取k=[log2(j-i+1)]，則有：RMQ(A, i, j)=min{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}。 舉例說明，要求區間[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]兩個區間，因為這兩個區間的最大值我們可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。

演算法虛擬碼：

//初始化 INIT_RMQ //max[i][j]中存的是重j開始的2^i個資料中的最大值，最小值類似，num中存有數組的值 for i : 1 to n   max[0][i] = num[i] for i : 1 to log(n)/log(2)   for j : 1 to (n+1-2^i)      max[i][j] = MAX(max[i-1][j], max[i-1][j+2^(i-1)] //查詢 RMQ(i, j) k = log(j-i+1) / log(2) return MAX(max[k][i], max[k][j-2^k+1])

當然，該問題也可以用線段樹（也叫區間樹）解決，演算法複雜度為：O(N)~O(logN)，具體可閱讀這篇文章：《資料結構之線段樹》。

3、  LCA演算法

對於該問題，最容易想到的演算法是分別從節點u和v回溯到根節點，擷取u和v到根節點的路徑P1，P2，其中P1和P2可以看成兩條單鏈表，這就轉換成常見的一道面試題：【判斷兩個單鏈表是否相交，如果相交，給出相交的第一個點。】。該演算法總的複雜度是O（n）（其中n是樹節點個數）。

本節介紹了兩種比較高效的演算法解決這個問題，其中一個是線上演算法（DFS+ST），另一個是離線演算法（Tarjan演算法）。

線上演算法DFS+ST描述(思想是：將樹看成一個無向圖，u和v的公用祖先一定在u與v之間的最短路徑上)：

（1）DFS：從樹T的根開始，進行深度優先遍曆（將樹T看成一個無向圖），並記錄下每次到達的頂點。第一個的結點是root(T)，每經過一條邊都記錄它的端點。由於每條邊恰好經過2次，因此一共記錄了2n-1個結點，用E[1, ... , 2n-1]來表示。

（2）計算R：用R[i]表示E數組中第一個值為i的元素下標，即如果R[u] < R[v]時，DFS訪問的順序是E[R[u], R[u]+1, …, R[v]]。雖然其中包含u的後代，但深度最小的還是u與v的公用祖先。

（3）RMQ：當R[u] ≥ R[v]時，LCA[T, u, v] = RMQ(L, R[v], R[u])；否則LCA[T, u, v] = RMQ(L, R[u], R[v])，計算RMQ。

由於RMQ中使用的ST演算法是線上演算法，所以這個演算法也是線上演算法。

【舉例說明】

T=<V,E>，其中V={A,B,C,D,E,F,G},E={AB,AC,BD,BE,EF,EH},且A為樹根。則圖T的DFS結果為：A->B->D->B->E->F->E->G->E->B->A->C->A，要求D和G的最近公用祖先, 則LCA[T, D, G] = RMQ(L, R[D], R[G])= RMQ(L, 3, 8)，L中第4到7個元素的深度分別為：1,2,3,3，則深度最小的是B。

離線演算法（Tarjan演算法）描述：

所謂離線演算法，是指首先讀入所有的詢問（求一次LCA叫做一次詢問），然後重新組織查詢處理順序以便得到更高效的處理方法。Tarjan演算法是一個常見的用於解決LCA問題的離線演算法，它結合了深度優先遍曆和並查集，整個演算法為線性處理時間。

Tarjan演算法是基於並查集的，利用並查集優越的時空複雜度，可以實現LCA問題的O(n+Q)演算法，這裡Q表示詢問 的次數。更多關於並查集的資料，可閱讀這篇文章：《資料結構之並查集》。

同上一個演算法一樣，Tarjan演算法也要用到深度優先搜尋，演算法大體流程如下：對於新搜尋到的一個結點，首先建立由這個結點構成的集合，再對當前結點的每一個子樹進行搜尋，每搜尋完一棵子樹，則可確定子樹內的LCA詢問都已解決。其他的LCA詢問的結果必然在這個子樹之外，這時把子樹所形成的集合與當前結點的集合合并，並將當前結點設為這個集合的祖先。之後繼續搜尋下一棵子樹，直到當前結點的所有子樹搜尋完。這時把當前結點也設為已被檢查過的，同時可以處理有關當前結點的LCA詢問，如果有一個從當前結點到結點v的詢問，且v已被檢查過，則由於進行的是深度優先搜尋，當前結點與v的最近公用祖先一定還沒有被檢查，而這個最近公用祖先的包涵v的子樹一定已經搜尋過了，那麼這個最近公用祖先一定是v所在集合的祖先。

演算法虛擬碼：

LCA(u)   {        Make-Set(u)        ancestor[Find-Set(u)]=u        對於u的每一個孩子v        {            LCA(v)            Union(u,v)            ancestor[Find-Set(u)]=u          }          checked[u]=true       對於每個(u,v)屬於P // (u,v)是被詢問的點對       {            if checked[v]=true           then {                       回答u和v的最近公用祖先為ancestor[Find-Set(v)]                 }         }   }

【舉例說明】
根據實現演算法可以看出，只有當某一棵子樹全部遍曆處理完成後，才將該子樹的根節點標記為黑色（初始化是白色），假設程式按上面的樹形結構進行遍曆，首先從節點1開始，然後遞迴處理根為2的子樹，當子樹2處理完畢後，節點2， 5， 6均為黑色；接著要回溯處理3子樹，首先被染黑的是節點7（因為節點7作為葉子不用深搜，直接處理），接著節點7就會查看所有詢問(7, x)的節點對，假如存在(7, 5)，因為節點5已經被染黑，所以就可以斷定(7, 5)的最近公用祖先就是find(5).ancestor，即節點1（因為2子樹處理完畢後，子樹2和節點1進行了union，find(5)返回了合并後的樹的根1，此時樹根的ancestor的值就是1）。有人會問如果沒有(7, 5)，而是有(5, 7)詢問對怎麼處理呢? 我們可以在程式初始化的時候做個技巧，將詢問對(a, b)和(b, a)全部儲存，這樣就能保證完整性。
4、  總結
LCA和RMQ問題是兩個非常基本的問題，很多複雜的問題都可以轉化這兩個問題解決，這兩個問題在ACM編程競賽中遇到的尤其多。這兩個問題的解決方案中用到很多非常基本的資料結構和演算法，包括並查集，深度優先遍曆，動態規劃等。
5、  參考資料
（1）       判斷兩個鏈表是否相交
（2）       博文《LCA問題（含RMQ的ST演算法）》
（3）       博文《Range Minimum Query and Lowest Common Ancestor》
（4）       博文《LCA問題（最近公用祖先問題）+ RMQ問題》
（5）       博文《最近公用祖先(LCA)的Tarjan演算法》
（6）       博文《LCA 最近公用祖先的Tarjan演算法》

轉載自董的部落格

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