旋轉卡殼——凸多邊形最小面積外接矩形

凸多邊形最小面積外接矩形

給定一個凸多邊形 P ， 面積最小的能裝下 P （就外圍而言）的矩形是怎樣的呢？ 從技術上說， 給定一個方向， 能計算出 P 的端點並且構由此造出外接矩形。 但是我們需要測試每個情形來獲得每個矩形來計算最小面積嗎？ 謝天謝地， 我們不必那麼幹。

對於多邊形 P 的一個外接矩形存在一條邊與原多邊形的邊共線。

上述結論有力地限制了矩形的可能範圍。 我們不僅不必去檢測所有可能的方向， 而且只需要檢測與多邊形邊數相等數量的矩形。 

圖示上述結論： 四條切線（紅色）， 其中一條與多邊形一條邊重合， 確定了外接矩形（藍色）。

一個簡單的演算法是依次將每條邊作為與矩形重合的邊進行計算。 但是這種構造矩形的方法涉及到計算多邊形每條邊端點， 一個花費 O(n) 時間（因為有 n 條邊）的計算。 整個演算法將有二次時間複雜度。

一個更高效的演算法已經發現。 利用旋轉卡殼， 我們可以在常數時間內即時更新， 而不是重新計算端點。
實際上， 考慮一個凸多邊形， 擁有兩對和 x 和 y 方向上四個端點相切的切線。 四條線已經確定了一個多邊形的外接矩形。 但是除非多邊形有一條水平的或是垂直的邊， 這個矩形的面積就不能算入最小面積中。
然而， 可以通過旋轉線直到條件滿足。 這個過程是下屬演算法的核心。 假設按照順時針順序輸入一個凸多邊形的 n 個頂點。

1. 計算全部四個多邊形的端點， 稱之為 xminP， xmaxP， yminP， ymaxP。
2. 通過四個點構造 P 的四條切線。 他們確定了兩個“卡殼”集合。
3. 如果一條（或兩條）線與一條邊重合， 那麼計算由四條線決定的矩形的面積， 並且儲存為當前最小值。 否則將當前最小值定義為無窮大。
4. 順時針旋轉線直到其中一條和多邊形的一條邊重合。
5. 計算新矩形的面積， 並且和當前最小值比較。 如果小於當前最小值則更新， 並儲存確定最小值的矩形資訊。
6. 重複步驟4和步驟5， 直到線旋轉過的角度大於90度。
7. 輸出外接矩形的最小面積。

因為兩對的“卡殼”確定了一個外接矩形， 這個演算法考慮到了所有可能算出最小面積的矩形。 進一步， 除了初始值外， 演算法的主迴圈只需要執行頂點總數多次。 因此演算法是線性時間複雜度的。

一個相似但是鮮為人知的問題是最小周長外接矩形問題。 有趣的是這兩個問題是完全不同的問題， 因為存在（儘管極少）最小面積外接矩形和最小周長外接矩形多邊形不重合的多邊形。

 

 

原文地址：http://cgm.cs.mcgill.ca/~orm/maer.html

 

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