尺度空間（Scale space）理論

尺度空間方法的基本思想是：在視覺資訊處理模型中引入一個被視為尺度的參數，通過連續變化尺度參數獲得不同尺度下的視覺處理資訊，然後綜合這些資訊以深入地挖掘映像的本質特徵。尺度空間方法將傳統的單尺度視覺資訊處理技術納入尺度不斷變化的動態分析架構中，因此更容易獲得映像的本質特徵。尺度空間的產生目的是類比映像資料多尺度特徵。高斯卷積核是實現尺度變換的唯一線性核。

尺度空間理論的動機：

• 現實世界的物體由不同尺度的結構所組成；
• 在人的視覺中，對物體觀察的尺度不同，物體的呈現方式也不同；
• 對電腦視覺而言，無法預知某種尺度的物體結構是有意義的，因此有必要將所有尺度的結構表示出來；
• 從測量的角度來說，對物體的測量資料必然是依賴於某個尺度的，例如溫度曲線的採集，不可能是無限的，而是在一定溫度範圍進行量化採集。溫度範圍即是選擇的尺度；
• 採用尺度空間理論對物體建模，即將尺度的概念融合入物理模型之中。

尺度空間公理：

• 線性
• 平移不變性
• 半群特性：g(x,y,t1) * g(x,y,t2) = g(x,y,t1 + t2)
• 旋轉不變性
• 尺度不變性
• 正定性
• 正規性(積分為1)
• 不會引入新的極點
• 不會增強極點
• 存在無窮小的運算元（可微性）

按照以上條件，唯一可能的尺度空間核函數是高斯核函數。

熱擴散方程：
根據微分方程理論，以上核函數家族可以表示成如下熱擴散方程的解：

 初始條件是 L( x, y;0)
=  f( x, y)

多尺度邊緣檢測和blob檢測：

• 梯度運算元用於邊緣檢測
• 過零點檢測：二次微分不變性方程

  滿足三次微分不變性不等式：

• blob檢測：拉普拉斯高斯方程或者Hessian矩陣的行列式

自動尺度選擇和尺度不變特徵選取：

• 實際問題中可能要選擇局部的尺度，然後進一步分析
• 尺度不變的特徵是滿足尺度不變性質的特徵，這個特徵在一個尺度下探測到，可以很容易映射到另一個尺度的對應位置。

其他多尺度表示方法：

• 金字塔表示
• 非線性尺度空間
• 仿射高斯尺度空間
• 小波理論