二次規劃

二次規劃問題
是一種典型的最佳化問題，包括凸二次規劃和非凸二次規劃，在此類問題中，目標函數是變數的二次函數，約束條件是變數的線性不等式。

假定變數的個數為 d d，約束條件的個數為 m m，則標準的二次規劃問題形如： minxs.t.12xTQx+cTxAx⩽b \begin{matrix}\min_{x} &\frac{1}{2}x^TQx+c^Tx\\ s.t.&Ax \leqslant b \end{matrix}
其中 x x為 d d維向量， Q∈Rd×d Q\in \mathbb{R^{d\times d }}為實對稱矩陣， A∈Rm×d A\in \mathbb{R^{m \times d }}為實矩陣， b∈Rm b\in \mathbb{R^m}和 c∈Rd c\in \mathbb{R^d}為實向量， Ax⩽b Ax \leqslant b的每一行對應一個約束。

若 Q Q為半正定矩陣，則上面的目標函數是凸函數，相應的二次規劃為凸二次規劃問題；此時若約束條件定義的可行域不為空白，且目標函數在此可行域有下界，則該問題有全域最小值。 若 Q Q為正定矩陣，則該問題有唯一的全域最小值。 若 Q Q為非正定矩陣，則目標函數是有多個平穩點和局部極小點的NP難問題。

常用的二次規劃問題求解方法有： 橢球法 內點法 增廣拉格朗日法 梯度投影法
等。若 Q Q為正定矩陣，則相應的二次規劃問題可由橢球法在多項式時間內求解。

凸函數：

對區間 [a,b] [a,b]上定義的函數 f f，若它對區間中任意兩點 x1,x2 x_1,x_2均有： f(x1+x22