第二類Stirling數

Ⅴ.第二類Stirling數

在五類典型的遞推關係中，第二類Stirling是最不為大家所熟悉的。也正因為如此，我們有必要先解釋一下什麼是第二類Strling數。

【定義2】n個有區別的球放到m個相同的盒子中，要求無一空盒，其不同的方案數用S(n,m)表示，稱為第二類Stirling數。

下面就讓我們根據定義2來推導帶兩個參數的遞推關係——第二類Stirling數。

解：設有n個不同的球，分別用b1,b2,……bn表示。從中取出一個球bn，bn的放法有以下兩種：

①bn獨自佔一個盒子；那麼剩下的球只能放在m-1個盒子中，方案數為S2(n-1,m-1)；

②bn與別的球共佔一個盒子；那麼可以事先將b1,b2,……bn-1這n-1個球放入m個盒子中，然後再將球bn可以放入其中一個盒子中，方案數為mS2(n-1,m)。

綜合以上兩種情況，可以得出第二類Stirling數定理：

【定理】S2(n,m)=mS2(n-1,m)+S2(n-1,m-1)   (n>1,m>1)

邊界條件可以由定義2推匯出：

S2(n,0)=0；S2(n,1)=1；S2(n,n)=1；S2(n,k)=0(k>n)。     

第二類Stirling數在競賽中較少出現，但在競賽中也有一些題目與其類似，甚至更為複雜。讀者不妨自己來試著建立其中的遞推關係。