第三節 資訊的表示和處理

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第三節 資訊的表示和處理

一．   資訊儲存

1、 位元組

最小的可定址的儲存空間單位，每個位元組由唯一的數字來標識，稱為地址。

2、 進位的表示和轉化

①  十進位轉二進位方法為：十進位數除2取餘法，即十進位數除2，餘數為權位上的數，得到的商值繼續除2，依此步驟繼續向下運算直到商為0為止。

②  二進位轉十進位方法為：把位元按權展開、相加即得十進位數。

③  二進位轉八進位方法為：3位位元按權展開相加得到1位八位元。（注意事項，3位二進位轉成八進位是從右至左開始轉換，不足時補0）。

④  八進位轉成二進位方法為：八位元通過除2取餘法，得到位元，對每個八進位為3個二進位，不足時在最左邊補零。

⑤  二進位轉十六進位

⑥  方法為：與二進位轉八進位方法近似，八進位是取三合一，十六進位是取四合一。（注意事項，4位二進位轉成十六進位是從右至左開始轉換，不足時補0）。

⑦  十六進位轉二進位

⑧  方法為：十六進位數通過除2取餘法，得到位元，對每個十六進位為4個二進位，不足時在最左邊補零。

⑨  把十進位轉八進位或者十六進位按照除8或者16取餘，直到商為0為止。

3、 布爾代數

布爾代數起源於數學領域，是一個用於集合運算和邏輯運算的公式：〈B，∨，∧，¬ 〉。其中B為一個非空集合，∨，∧為定義在B上的兩個二元運算，¬為定義在B上的一個一元運算。

通過布爾代數進行集合運算可以擷取到不同集合之間的交集、並集或補集，進行邏輯運算可以對不同集合進行與、或、非。

基本規則：

1．a+b=b+a，　a·b=b·a.

2．a·(b+c)=a·b+a·c，

a+(b·c)=(a+b)·(a+c).

3．a+0=a，　 a·1=a.

4．a+a′=1，　a·a′=0.

4.補碼

 

最常見的有符號數的電腦表示方式。

 

正數的補碼=原碼

負數的補碼=原碼各位取反再加1

最高有效位也叫符號位。

5、 定址和位元組順序

小端法：最低有效位元組在最前面，“高對高，低對低”，是大多數intel相容機，包括IBM和Sun的個人intel相容處理器的電腦使用的規則。

例如：變數x為int，位於地址0x100，十六進位值為0x01234567。

大端法：地址：  0x100     0x101    0x102    0x103

67        45        23      01

在0x01234567中，高位位元組為0x01，低位位元組為0x67。

二、整數表示

1、有符號數和無符號數之間的轉換

對大多數C語言實現而言，處理同樣字長的有符號數和無符號數之間相互轉換的一般規則是：

數值可能會改變，但是位元模式不變。

一個有符號數x和與之對應的無符號數T2Uw（x）之間的關係：

T2Uw（x）=   x+2^w  , x<0

x ,     x>=0

2.擴充數位位表示

零擴充：在開頭添0。（將無符號數轉換成更大的資料類型）

符號擴充：添加最高有效位的值的副本。（一個補碼數字轉換成更大的資料類型）

3.截斷數字

可能會改變數值——溢出的一種形式。

對於無符號數字x，截斷到k位，相當於計算：x mod 2（k）。（k次冪）

 

4．C語言中的有符號數和無符號數

當C語言執行一個運算，若一個運算數有符號而另一個運算數無符號，C語言會隱式地將有符號強轉為無符號，並假設兩者都非負，執行運算。

PS：要想讓負數等於正數，可以讓這個負數和這個正數的無符號形式相等，再在對比時將兩者之一強轉為無符號形式，即可。

5.擴充一個數位位表示

一個常見的運算是在不同字長的整數之間轉換，同時又保持數值不變。當然，當目標資料類型太小了，以至於不能表示想要的值時，這可能根本就是不可能的。然而，從一個較小的資料類型轉換到一個較大的類型，應該總是可能的。要將一個無符號數轉換為一個更大的資料類型，我們只要簡單的在表示的開頭添加0.這種運算被稱為零擴充（zero extension）。要將一個二進位補碼數字轉換為一個更大的資料類型，規則是執行一個符號擴充（sign extension）,在表示中添加最高有效位的值。

三、整數運算

1、補碼加法

補碼加法

[X+Y]補 = [X]補 + [Y]補

註：因為電腦中運算器的位長是固定的（定長運算），上述運算中產生的最高位進位將丟掉，所以結果不是100001010，而是00001010。

2、補碼減法

[X-Y]補 = [X]補 - [Y]補 = [X]補 + [-Y]補【1】

3、補碼乘法

補碼的乘法不具備【X*Y】補=【X】補×【Y】補的性質。但是【X*Y】補==【X】補×Y,所得結果再取補碼，如x=101,y=011,[x*y]補=-[(-101)*011]=-[011*011]=-01001=10111

4、乘以常數

在機器運算中，乘法總是很慢的，而加法和移位（左移）是相對較快的。所以在編譯器中，會使用移位和加法運算組合的方式來代替乘以常數因子。這種方法對於無符號運算和補碼運算都是適用的。

常數為2的k次冪的時候直接左移k位即可。

常數不是2的整數次冪的時候將常數C表示為2的幾個整數次冪的和，結合移位元運算和加法運算。

5、除以2的冪

機器運算中，除法比乘法更慢。當被除數為2的整數次冪時，通過右移來解決。右移時需要區分無符號數和補碼。

四、浮點數

1.二進位小數

定點標記法：“.”為界（不能有效表示很大的數）

十進位：小數點左邊的數位權是10的非負冪，得到整數值；右邊的數位權是10的負冪，得到小數值。

二進位：小數點左邊的數位權是2的非負冪，右邊的數位權是2的負冪。

2.IEEE浮點表示

用V = (-1)s * M * 2E的形式來表示一個數：

符號：s決定這個數是負數（s = 1）還是正數（s = 0），而對於數值0的符號位解釋作為特殊情況處理。

尾數：M是一個二進位小數，它的範圍是1 ~ 2-ε，或者是0 ~ 1-ε。

階碼：E的作用是對浮點數據加權，這個權重是2的E次冪（可能是負數）。將浮點數的位表示劃分為三個欄位，分別對這些值進行編碼：

一個單獨的符號位s直接編碼符號s。

k位的階碼欄位exp = ek-1…e1e0編碼階碼E。

n位小數欄位frac = fn-1…f1f0編碼尾數M，但是編碼出來的值也依賴於階碼欄位的值是否等於0。

3.兩種常見的格式

C語言中的單精確度浮點格式float 和雙精確度浮點數格式double。

在float中，s、exp和frac欄位分別為1位、k = 8 位和n = 23位，得到一個32位的表示；

在double中，s、exp和frac欄位分別為1位、k = 11 位和n = 52位，得到一個64位的表示。

 

遇到問題與解決

為什麼會產生負溢出

解答：通過百度和參考書上的例題知道，和正溢出一樣，只要超過了這個資料的位元組數，則會溢出，只是正溢出是正值，負溢出是負值超出了下限。

 

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