線段樹(segment tree)

線段樹在一些acm題目中經常見到，這種資料結構主要應用在計算幾何和地理資訊系統中。就為一個線段樹：

(PS：可能你見過線段樹的不同表示方式，但是都大同小異，根據自己的需要來建就行。)

1.線段樹基本性質和操作

線段樹是一棵二叉樹，記為T(a, b)，參數a,b表示區間[a,b]，其中b-a稱為區間的長度，記為L。

線段樹T(a,b)也可遞迴定義為：

若L>1 :  [a, (a+b) div 2]為 T的左兒子；             [(a+b) div 2,b]為T 的右兒子。 若L=1 : T為葉子節點。

 

線段樹中的結點一般採取如下資料結構：

struct Node{    int   left,right;  //區間左右值    Node   *leftchild;    Node   *rightchild;    };

線段樹的建立：

Node   *build(int   l ,  int r ) //建立二叉樹{    Node   *root = new Node;    root->left = l;    root->right = r;     //設定結點區間    root->leftchild = NULL;    root->rightchild = NULL;    if ( l +1< r )    {       int  mid = (r+l) >>1;       root->leftchild = build ( l , mid ) ;       root->rightchild = build ( mid  , r) ;     }     return    root; }

線段樹中的線段插入和刪除：

增加一個cover的域來計算一條線段被覆蓋的次數，因此在建立二叉樹的時候應順便把cover置0。

插入一條線段[c,d]：

void  Insert(int  c, int d , Node  *root ){       if(c<= root->left&&d>= root->right)            root-> cover++;       else        {           if(c < (root->left+ root->right)/2 ) Insert (c,d, root->leftchild  );           if(d > (root->left+ root->right)/2 ) Insert (c,d, root->rightchild  );       }} 

 

刪除一條線段[c,d]:

void  Delete (int c , int  d , Node  *root ){       if(c<= root->left&&d>= root->right)            root-> cover= root-> cover-1;       else        {          if(c < (root->left+ root->right)/2 ) Delete ( c,d, root->leftchild  );          if(d > (root->left+ root->right)/2 ) Delete ( c,d, root->rightchild );       }} 

2.線段樹的運用

線段樹的每個節點上往往都增加了一些其他的域。在這些域中儲存了某種動態維護的資訊，視不同情況而定。這些域使得線段樹具有極大的靈活性，可以適應不同的需求。

例一：

桌子上零散地放著若干個盒子，桌子的後方是一堵牆。。現在從桌子的前方射來一束平行光， 把盒子的影子投射到了牆上。問影子的總寬度是多少？

這道題目是一個經典的模型。在這裡，我們略去某些處理的步驟，直接分析重點問題，可以把題目抽象地描述如下：x軸上有若干條線段，求線段覆蓋的總長度，即S1+S2的長度。

 

2.1最直接的做法：

設線段座標範圍為[min,max]。使用一個下標範圍為[min,max-1]的一維數組，其中數組的第i個元素表示[i,i+1]的區間。數組元素初始化全部為0。對於每一條區間為[a,b]的線段，將[a,b]內所有對應的數組元素均設為1。最後統計數組中1的個數即可。

初始     0   0  0  0  0[1，2]   1   0  0  0  0[3，5]   1   0  1  1  0[4，6]   1   0  1  1  1[5，6]   1   0  1  1  1

其缺點是時間複雜度決定於下標範圍的平方，當下標範圍很大時（[0,10000]），此方法效率太低。

2.2離散化的做法：

基本思想：先把所有端點座標從小到大排序，將座標值與其序號一一對應。這樣便可以將原先的座標值轉化為序號後，對其應用前一種演算法，再將最後結果轉化回來得解。該方法對於線段數相對較少的情況有效。

樣本:

[10000,22000]   [30300,55000]   [44000,60000]   [55000,60000]

排序得10000，22000，30300，44000，55000，60000

對應得1， 2， 3， 4， 5， 6

然後是 [1,2]     [3,5]    [4,6]    [5,6]

初始     0   0  0  0  0[1，2]   1   0  0  0  0[3，5]   1   0  1  1  0[4，6]   1   0  1  1  1[5，6]   1   0  1  1  1

10000，22000，30300，44000，55000，60000

1，       2，        3，       4，       5，       6

(22000-10000)+(60000-30300)=41700

 

此方法的時間複雜度決定於線段數的平方，對於線段數較多的情況此方法效率太低。

2.3使用線段樹的做法：

給線段樹每個節點增加一個域cover。cover=1表示該結點所對應的區間被完全覆蓋，cover=0表示該結點所對應的區間未被完全覆蓋。

如的線段樹，添加線段[1,2][3,5][4,6]

插入演算法：

void   Insert(Node  *root , int  a , int  b){    int m;    if( root ->cover == 0)     {                 m = (root->left+ root->right)/2 ;        if (a == root->left && b == root->right)             root ->cover =1;        else if (b <= m)  Insert(root->leftchild , a, b);        else if (a >= m)  Insert(root->rightchild , a, b);        else         {                    Insert(root->leftchild ,a, m);                Insert(root->rightchild , m, b);        }    }}

統計演算法：

int  Count(Node *root){    int  m,n;    if (root->cover == 1)            return   (root-> right - root-> left);    else if (root-> right - root-> left== 1 )return 0;    m= Count(root->leftchild);     n= Count(root->rightchild);    return m+n;}