Selection Problem （選擇問題）

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　　在一個由n個元素組成的集合中，第i個“順序統計量（order statistic）”是該集合中第i小的元素。例如，在一個由n個元素組成的集合中，最小值是第1個順序統計量，最大值是第n個順序統計量。而“中位元（median）”總是出現在low((n+1)/2)或者high((n+1)/2)處，其中low是向下取整（“下中位元”），high是向上取整（“上中位元”），當n為奇數的時候，只有“下中位元”，而n為偶數的時候，同時有“下中位元”和“上中位元”。

選擇問題的定義如下。
　　輸入：一個包含n個不同的數的集合A和一個數i，i屬於範圍[1,n]
　　輸出：集合A中的一個元素x，x恰好大於A中的其他i-1個元素

 

通過排序的方法可以解決這個問題，比如堆排序、歸併排序。時間可以達到O(n*lg(n))

　

下面討論一個實用的演算法，平均情況下已耗用時間為O(n)

　　此程式利用了快速排序的partition子程式（隨機播放pivot的版本），因為partition總是把比pivot小的劃分到左邊，比pivot大的劃分到右邊，所以利用這一點（但是randomizedSelect不會向快速排序一樣遞迴地處理劃分出來的兩邊，而是只處理左邊或者右邊，因此要更快一些）完成選擇。

　　此演算法平均效能比較好，因為是隨機化的劃分，不會有哪一組特定的輸入導致其最壞情況的發生。

　　平均時間是O(n)，最壞時間是O(n^2)

 

實現代碼如下：

 1 package algorithms; 2  3 import java.util.Arrays; 4 import java.util.Random; 5 public class SelectionProblem { 6      7     //static StringBuilder logger = new StringBuilder(); // debug 8     //static String NEWLINE = "\n"; // debug 9     10     /**11      * @param a the array12      * @param low the lower bound (inclusive)13      * @param high the upper bound (exclusive)14      * @param i indicate that the i-th order statistic is our target, i starts from 115      * @return the i-th order statistic16      * */17     public static <T extends Comparable<T>>18     T randomizedSelect(T[] a, int low, int high, int i) {19         --high; // high the upper bound (exclusive)20         return _randomizedSelect(a, low, high, i);21     }22     23     private static <T extends Comparable<T>>24     T _randomizedSelect(T[] a, int low, int high, int i) {25         if (low == high) {26             return a[low]; // target found27         }28         // else, partition29         int pivot = randomizedPartition(a, low, high);30         int k = pivot - low + 1;31         if (k == i) { // if pivot is our target32             return a[pivot];33         } else if (k > i) { // if pivot is too large34             return _randomizedSelect(a, low, pivot-1, i);35         } else { // if pivot is too small36             return _randomizedSelect(a, pivot+1, high, i-k);37         }38     }39     40     private static <T extends Comparable<T>>41     int randomizedPartition(T[] a, int low, int high) {42         int pivotIndex = randomIndex(low, high+1);43         // logger.append("pivotIndex:"+pivotIndex+NEWLINE); // debug44         return Partition.doPartition(a, low, high+1, pivotIndex);45     }46     47     private static final Random random = new Random();48     // low (inclusive), high (exclusive)49     private static int randomIndex(int low, int high) {50         if (high==low) {51             return low;52         }53         return random.nextInt(high-low) + low;54     }55     56     // test57     public static void main(String[] args) {58         Integer[] a = new Integer[]{29, 36, 44, 12, 29, 24, 28, 74, 54, 56};59         System.out.println(Arrays.toString(a));60         Integer result = SelectionProblem.randomizedSelect(a, 0, a.length, 10);61         //if (result != 36) { // debug62         //    System.out.println(logger); // debug63         //} // debug64         System.out.println("result:"+result);65         //System.out.println(Arrays.toString(a)); // debug66         QuickSort.sort(a, 0, a.length);67         System.out.println(Arrays.toString(a));68     }69     70 }

 

Selection Problem （選擇問題）