白話經典演算法系列之七 堆與堆排序

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 堆排序與高速排序，歸併排序一樣都是時間複雜度為O(N*logN)的幾種常見排序方法。學習堆排序前，先解說下什麼是資料結構中的二元堆積。二元堆積的定義

二元堆積是全然二叉樹或者是近似全然二叉樹。

二元堆積滿足二個特性：

1．父結點的索引值總是大於或等於（小於或等於）不論什麼一個子節點的索引值。

2．每一個結點的左子樹和右子樹都是一個二元堆積（都是最大堆或最小堆）。

當父結點的索引值總是大於或等於不論什麼一個子節點的索引值時為最大堆。當父結點的索引值總是小於或等於不論什麼一個子節點的索引值時為最小堆。展示一個最小堆：

因為其他幾種堆（二項式堆，費伯納西堆等）用的較少，一般將二元堆積就簡稱為堆。

堆的儲存

一般都用數組來表示堆，i結點的父結點下標就為(i – 1) / 2。它的左右子結點下標分別為2 * i + 1和2 * i + 2。如第0個結點左右子結點下標分別為1和2。

堆的操作——插入刪除

以下先給出《資料結構C++語言描寫敘述》中最小堆的建立插入刪除的圖解，再給出本人的實現代碼，最好是先看明確圖後再去看代碼。

堆的插入

每次插入都是將新資料放在數組最後。能夠發現從這個新資料的父結點到根結點必定為一個有序的數列，如今的任務是將這個新資料插入到這個有序資料中——這就相似於直接插入排序中將一個資料併入到有序區間中，對比《白話經典演算法系列之二 直接插入排序的三種實現》不難寫出插入一個新資料時堆的調整代碼：

//  新添?i結點  其父結點為(i - 1) / 2void MinHeapFixup(int a[], int i){    int j, temp;temp = a[i];j = (i - 1) / 2;      //父結點while (j >= 0 && i != 0){if (a[j] <= temp)break;a[i] = a[j];     //把較大的子結點往下移動,替換它的子結點i = j;j = (i - 1) / 2;}a[i] = temp;}

更簡短的表達為：

void MinHeapFixup(int a[], int i){for (int j = (i - 1) / 2; (j >= 0 && i != 0)&& a[i] > a[j]; i = j, j = (i - 1) / 2)Swap(a[i], a[j]);}

插入時：

//在最小堆中添?新的資料nNumvoid MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum){a[n] = nNum;MinHeapFixup(a, n);}

堆的刪除

按定義，堆中每次都僅僅能刪除第0個資料。為了便於重建堆，實際的操作是將最後一個資料的值賦給根結點，然後再從根結點開始進行一次從上向下的調整。調整時先在左右兒子結點中找最小的，假設父結點比這個最小的子結點還小說明不須要調整了，反之將父結點和它交換後再考慮後面的結點。相當於從根結點將一個資料的“下沉”過程。以下給出代碼：

//  從i節點開始調整,n為節點總數 從0開始計算 i節點的子節點為 2*i+1, 2*i+2void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n){    int j, temp;temp = a[i];j = 2 * i + 1;while (j < n){if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的j++;if (a[j] >= temp)break;a[i] = a[j];     //把較小的子結點往上移動,替換它的父結點i = j;j = 2 * i + 1;}a[i] = temp;}//在最小堆中刪除數void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n){Swap(a[0], a[n - 1]);MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);}

堆化數組

有了堆的插入和刪除後，再考慮下怎樣對一個資料進行堆化操作。要一個一個的從數組中取出資料來建立堆吧，不用！先看一個數組，例如以：

非常明顯，對葉子結點來說，能夠覺得它已經是一個合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都各自是一個合法的堆。僅僅要從A[4]=50開始向下調整就能夠了。然後再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分別作一次向下調整操作就能夠了。展示了這些步驟：

寫出堆化數組的代碼：

//建立最小堆void MakeMinHeap(int a[], int n){for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)MinHeapFixdown(a, i, n);}

至此，堆的操作就所有完畢了(注1)，再來看下怎樣用堆這種資料結構來進行排序。

堆排序

首先能夠看到堆建好之後堆中第0個資料是堆中最小的資料。取出這個資料再運行下堆的刪除操作。這樣堆中第0個資料又是堆中最小的資料，反覆上述步驟直至堆中僅僅有一個資料時就直接取出這個資料。

因為堆也是用數組類比的，故堆化數組後，第一次將A[0]與A[n - 1]交換，再對A[0…n-2]又一次恢複堆。第二次將A[0]與A[n – 2]交換，再對A[0…n - 3]又一次恢複堆，反覆這種操作直到A[0]與A[1]交換。因為每次都是將最小的資料併入到後面的有序區間，故操作完畢後整個數組就有序了。有點相似於直接選擇排序。

void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n){for (int i = n - 1; i >= 1; i--){Swap(a[i], a[0]);MinHeapFixdown(a, 0, i);}}

注意使用最小堆排序後是遞減數組，要得到遞增數組，能夠使用最大堆。

因為每次又一次恢複堆的時間複雜度為O(logN)，共N - 1次又一次恢複堆操作，再加上前面建立堆時N / 2次向下調整，每次調整時間複雜度也為O(logN)。二次操作時間相加還是O(N * logN)。故堆排序的時間複雜度為O(N * logN)。STL也實現了堆的相關函數，能夠參閱《STL系列之四 heap 堆》。

 

 

注1 作為一個資料結構，最好用類將其資料和方法封裝起來，這樣即便於操作，也便於理解。此外，除了堆排序要使用堆，另外還有非常多場合能夠使用堆來方便和高效的處理資料，以後會一一介紹。

 

 

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白話經典演算法系列之七 堆與堆排序