常用的離散數學中的幾個概念以及自己的幾點拙見

1、等價關係（Equivalence Relation）

設~是集合G上的一個二元關係，若滿足以下條件：

（1）自反性：對任何a∈G，有a~a

（2）對稱性：對任何a，b∈G，有a~b，則b~a

（3）傳遞性：對任何a，b，c∈G，有a~b且b~c，則a~c

則稱~為G中的一個等價關係。

2、等價類別（Equivalence Class）

集合b={x|x∈G，x~a}，即集合G中所有與a等價的元素x組成的子集b，稱為a所在的等價類別，也就是說等價類別是與某元素等價的所有元素組成的集合，等價類別是個集合。

3、同餘關係（Congruence Relation）

設m為非零常數，a、b為整數，如果m|a-b（這個形式看著讓人蛋疼！誰特麼發明的？我們矩陣老師說的對，數學很簡單，就是讓這些符號搞複雜了！），稱a與b對模m是同餘關係。

定義不好理解，其實同餘關係很簡單。對於非零常數m（因為不能模除0），如果整數a%m=b%m，那麼以對m的模運算為背景看a與b的關係，這個關係就是同餘關係。

同餘關係是一種等價關係，可以按照等價關係那三個性質來證明。

4、同餘類（Congruence Class）

集合b={x|x ≡ a%m}稱為模m的同餘類。即模除m後具有相同餘數的所有元素組成的集合叫做同餘類，同餘類也是集合。集合個數為m-1個，因為模除嘛，餘數肯定是【0，m）這m-1個數中的一個。

5、群（Group）

G為非空集合，如果在G上定義的二元運算 *，滿足：

（1）封閉性：對於任意a，b，c∈G，有a*b∈G

（2）結合律：對於任意a，b，c∈G，有（a*b）*c=a*（b*c）

（3）么元 ：存在么元e，使得對於任意a∈G，e*a=a*e=a

（4）逆元：對於任意a∈G，存在逆元a^-1，使得a^-1*a=a*a^-1=e

則稱（G，*）是群，簡稱G是群。

如果僅滿足封閉性和結合律，則稱G是一個半群（Semigroup）。

如果僅滿足封閉性、結合律並且有么元，則稱G是一個含么半群（Monoid）。

回頭再看看群的定義，那不就是矩陣集合和乘法運算嘛，矩陣乘法滿足封閉性，肯定滿足結合律，有么元就是單位矩陣，有逆元就是矩陣的逆而且矩陣與其逆的乘積為單位矩陣。細分起來就能看出有的矩陣四個條件都滿足，有的只滿足前幾個。

其實要是學過線性代數或者矩陣基礎理論，裡面有個線性空間的定義，跟這個就差不多。

（5）對於任意a，b∈G，有a*b=b*a

則稱G為交換群或阿貝爾群（Abel Group）。（有的矩陣也滿足交換律。所以群這個概念很好理解，很好記。記住群的概念，什麼半群、含么半群、阿貝爾群都不在話下啦！）

6、群的么元是唯一的，群中元素的逆元也是唯一的。

7、無限群：群中元素個數是無限個時，叫做無限群。

有限群：群中的元素個數是有限個時，叫做有限群。

群的階：群的元素個數就叫做群的階。

元素的階：滿足a^n=e的最小正整數n，成為元素a的階。如果a^n=e永不成立，則稱a的階無窮大。

8、迴圈群

a∈G，H={a^k|k∈Z}若滿足：

（1）封閉性：對於任意a^k1,a^k2∈G，有a^k1*a^k2=a^(k1+k2)∈G

（2）結合律：對於任意的a^k1,a^k2,a^k3∈G，有（a^k1*a^k2）*a^k3=a^k1*（a^k2*a^k3）

（3）么元：么元仍為是G的么元e

（4）逆元：對於人一定a^k∈G，逆元a^(-k)∈G，a^k*a(-k)=a^(-k)*a^k=e

那麼H就是G的迴圈子群，a叫做群H的產生元。

9、環

集合G以及定義在G上的封閉運算+和*，若滿足：

（1）（G，+）是交換群

（2）（G，*）滿足結合律-------其實就是說（G，*）是個半群

（3）（G，+，*）滿足分配率：對於任意a，b，c∈G，有a*（b+c）=a*b+a*c

則稱（G，+，*）是環，簡稱G是環。

如果（G，*）滿足交換律，則G是交換環。

10、域

集合G以及定義在G上的封閉運算+和*，若滿足：

（1）（G，+）是交換群

（2）（G，*）是交換群（這裡跟環不同）

（3）（G，+，*）滿足分配率：對於任意a，b，c∈G，有a*（b+c）=a*b+a*c

則稱（G，+，*）是域，簡稱G是域。