Shadow - Soft Shadow Mapping演算法及推導過程__演算法

Shadow Mapping已經成為當前3D遊戲的標配。傳統SM+PCF可以很好地實現日光環境下的Hard Shadow，但如果要實現由昏暗燈光所產生的Soft Shadow，則要麼效果過於生硬(sample次數少)要麼效率低下(sample次數多)。因此，越來越多的遊戲開始使用能夠充分利用硬體特性的軟陰影演算法。
這裡主要總結各種Soft Shadow Mapping的演算法思想和推導過程，不提及實現上的細節和具體代碼，等有空再寫寫Demo。
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Standard Shadow Maps
Shadow Map的基本思想：Light View畫一遍Depth，然後Camera View渲情境的時候，把Pixel座標變換到Light Space，比較Depth即可（Pixel的Depth大於Shadow Map的Depth即在陰影區）。也可以直接是Screen Space對Depth Map做Post-processing。

傳統方法可以用Percentage Closer Filtering解決鋸齒問題，也很簡單，Pixel座標組應過去之後，比較周圍的多個點，計算出陰影區的百分比。此外，還可以通過Bilinear Filter讓陰影更平滑，跟PCF差不多，比較相鄰的4個點，然後根據Texel的Offset做插值。值得注意的是，現在的GPU都支援Hardware Shadow Map，可以直接通過tex2Dproj( u, v, z, p )這條指令實現2x2PCF+BF。

Perspective Shadow Maps & Trapezoidal Shadow Maps
這兩種方法沿用Shadow Map的基本思想。為瞭解決Shadow Map精度問題，對Depth Pass的變換矩陣做做手腳。

Variance Shadow Maps
VSM的想法很棒，可以說Soft Shadow是從VSM開始才往利用硬體Filter的方向發展。首先，也是Light View的Depth Pass，但是這次寫入2個值，一個通道寫入Depth，另一個通道寫入Depth2。接著對出來的這張 [Depth, Depth2] 的Texture做Blur。直觀上來講，做Blur的結果就是取周圍一定範圍內的點的平均值（期望值），也就是Blur完之後得到一張 [E(Depth), E(Depth2)] 的Texture。有了這張Texture，後面便可以根據方差公式 V(Depth)=E(Depth2)-E(Depth)2 計算得到方差。

最後，根據Chebychev’s inequality（切比雪夫不等式）
P(x≥t) ≤ σ2/(σ2+(t-μ)2) 式中σ2為方差V(Depth)，μ為期望E(Depth)
將Pixel座標變換到Light Space之後的Depth代入t，即得到某個點周圍一定範圍內大於深度t的點的比率（注意切比雪夫不等式得到的只是一個範圍≤，而這裡近似的取不等式右側的結果Pmax）。其實就是一個微分層級的PCF值，於是可以非常高效地得到平滑陰影。

很可惜的是，在Depth變化較大的地區（方差較大），VSM會有缺陷（Light bleeding）。因為根據切比雪夫不等式，在方差較大的情況下，(t-μ)必須足夠大，才能讓不等式右邊趨於0。於是又有了LVSM來解決這個問題。

Layered Variance Shadow Maps
為瞭解決VSM的Light bleeding，對VSM的Shadow Map進行分層，將每一層次裡面的Depth區間控制在一定範圍內，也就是降低可能出現的方差值。

Convolution Shadow Maps
CSM提出了一種非常好的圖形學演算法思路。其推導過程比較華麗，用到了幾個數學上的概念：卷積，傅裡葉級數。（注意還有另外一種CSM – Cascaded Shadow Maps，兩者作用是不一樣的）

首先，假設x⊆R3為某一點的全局座標，d(x)為該點到Light Source的距離（也就是Light Space的Depth）。p⊆R2為該點對應到Shadow Map上的座標，z(p)為該點對應的Shadow Map上的Depth。於是可以定義一個Shadow Test函數：
s(x) = f(d(x), z(p)) 當d>z時，s為0，反之為1
為了得到軟陰影，我們希望能對s進行卷積，即希望得到：
sf(x) = ∑w(q)f(d(x),z(p-q)) = [w*f(d(x), z)](p)（亮點1）
如果能對上式運用卷積定理，得到如下式的結果，則表明可以通過對z(p)做卷積而得到軟陰影。（即可以利用Blur、硬體Bilinear Filter和Mipmap來達到軟陰影）
[w*f(d(x), z)](p) = f(d(x), [w*z](p))
可惜的是，f(d(x), z(p))並不是線性函數（而是階躍函數），無法對其運用卷積定理。為此，CSM轉而採用數值分析方法，用傅立葉級數來逼近函數f。（亮點2）

雖然CSM的推導過程相當華麗，但是本身缺點太多（比如：記憶體開銷較大，Shadow Map Pass需要輸出的資料量太大，頻寬記憶體都吃得太緊），導致其實用價值很低。

Exponential Shadow Maps
明白CSM的原理之後，ESM就顯得相當簡單了。

(to be continued)