邊雙?

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有一個問題：給出一張連通的無向圖，加上最少的邊使得它成為邊雙連通圖

網上有一個結論，就是只要求出邊雙的縮點樹，然後找出其中只與一條邊相連的點個數k，答案就是(k/2)（上取整）

網上有一些解釋

摘自https://www.byvoid.com/zhs/blog/biconnect

統計出樹中度為1的節點的個數，即為分葉節點的個數，記為leaf。則至少在樹上添加(leaf+1)/2條邊，就能使樹達到邊二連通，所以至少添加的邊數就是(leaf+1)/2。具體方法為，首先把兩個最近公用祖先最遠的兩個分葉節點之間串連一條邊，這樣可以把這兩個點到祖先的路徑上所有點收縮到一起，因為一個形成的環一定是雙連通的。然後再找兩個最近公用祖先最遠的兩個分葉節點，這樣一對一對找完，恰好是(leaf+1)/2次，把所有點收縮到了一起。

摘自評論

想請問對於樹1--2; 1--3; 1--4; 2--5; 2--6; 3--7; 3--8; 4--9; 4--10. 來說, 依照上述構造雙連通圖的方法, 第一步可以選擇把葉子(5,10) 連起來, 而LCA(5,10) 是1 (Root), 為最遠的. 接著同理, 串連葉子(6,9). 則最後只剩下葉子(7,8) 可選, 此時便出現無解的情況了, 若遇到這種情況是不是會發生問題呢? 似乎採用編號法可以解決這個問題.

好像有一點小問題？怎麼證明/構造？

試著再給一個證明（有錯的，只是先記一下）

首先，k個點中每一個點都必須加一條邊，否則不可能使得圖邊雙連通，因此答案的一個下界為將它們兩兩串連的代價：(k/2)（上取整）

然後給一種構造方法，是以上方法的改版：

每一次找到樹中某兩個點，然後在這兩個點之間連一條邊，那麼這兩個點路徑上所有點都可以被縮成一個點

將這些點縮起來，之後仍然為一棵樹，且其餘只與一條邊相連的點不受影響（畢竟絕對不可能被縮排去的）,也不會產生新的只與一條邊相連的點（除了最後的幾次縮點操作之外）（這個真的能夠保證嗎？給出一種嘗試：產生新的只與一條邊相連的點，若且唯若兩點間的路徑上（除兩點外）只有最多一個點與路徑外的點有最多一條邊相連；設法證明每一次都可以避開這樣的選擇方案（怎麼證？））

顯然任意一次操作中都能找到這樣的兩個點，直到只剩1或0個只與一條邊的點；只剩1個點時隨便找一個點連起來即可

這樣每次一定能少掉2個（最後一次可能為1個）只與一條邊相連的節點，總代價為(k/2)（上取整）

 

邊雙?