訊號與系統11：連續，離散傅裡葉變換與級數

連續，離散的傅裡葉變換與級數還是很混！

1.由於離散複指數的周期性，導致離散傅裡葉變換是有周期的（2π）。而由於這個原因，導致了一系列的差別性，比如離散的相乘特性：時域上的乘積等於頻域上的卷積（此時的卷積為周期卷積！）

2.相乘特性

時域上的乘積等於頻域上的卷積。(以連續訊號為例)，離散訊號有一點區別。

我們考慮如果在輸入訊號為a^t*u（t），頻域上為1/[1-ae^(-jw)]；

現在我們考慮在時域上乘以（-1）^t，相當於e^jnπ；

由於e^jnπ為周期訊號，我們可以利用連續周期訊號的傅裡葉變換的公式，首先求出其傅裡葉級數然後得出傅裡葉變換。可以得到其訊號的傅裡葉變換為一個脈衝函數（而離散訊號的時候，為一連續脈衝，因為離散訊號的傅裡葉級數係數是周期性的，而連續的則沒有這個性質）；

最後連續訊號只可以將頻譜搬移到有限個頻譜帶，而離散訊號會不斷搬移（但其實頻譜為2π，4π，6π等等與0是一樣的，所以低頻是靠近π的偶數倍，高頻靠近π的奇數倍）。

結論就是：時域上乘以（-1）^n（離散訊號）,頻譜是搬移π個單位。（連續的為有限搬移）

也就是通過乘以（-1）^n，可以將低通濾波器變成高通濾波器。（比如脈衝響應為h(t)的系統為低通濾波器，脈衝響應為（-1）^n*h(t)的系統為高通濾波器）。

可以看看下面的例子

（1）a^n*u(n),0<a<1

此時的頻譜為

（2）a^n*u(n),a<0

發現就是頻譜搬移大約π個單位。（濾波器由低通變高通）。

這用相乘特性可以很好地解釋為什麼頻譜搬移。

另外，如果只有低通濾波器，如何讓他有高通濾波器的功能呢？將輸入訊號乘以（-1）^n,頻譜搬移將高頻移到低頻，低頻移到高頻，通過低通濾波器，實際上率除了低頻訊號，將輸出來的訊號再乘以（-1）^n,將高頻訊號轉到高頻的位置即可。