訊號與系統9：傅裡葉變換性質

講了很多傅裡葉變換的性質，從簡單的線性性，以及時域與頻域的關係，對偶性，能量的帕斯瓦爾公式，到最重要的卷積性質和相乘性質（調製性質）

1.時域與頻域的關係：當時間擴大，頻域就相應縮小，視頻中一個比較好理解的例子：播放錄音時，加快播放速度，聲音就會變沉重；減緩播放速度，聲音就邊尖；

2.線性性,以及帕斯瓦爾挺好理解的，對偶性好像不是很好理解；

3.卷積性質是濾波的基礎，相乘性質是調製的基礎；

卷積性質，想透露的本質：時域上卷積在時域上可以相乘，講得有點空，教授講得是，講一個訊號分解成無數個複指數訊號（複指數訊號對應的傅裡葉變換是是該訊號與相對應上的頻率響應，叫做該LTI系統的特徵函數，頻率響應為特徵值），由線性性質將所有的複指數訊號所對應的輸出相加，便可以得到輸出也用傅裡葉級數表示的方程，不同的是此時的傅裡葉係數=輸入訊號的傅裡葉係數與對應的頻率響應的乘積。時域上的卷積導致頻率上的乘積，不正是可以讓濾波截斷某些頻率嘛？所以為濾波的基礎。

相乘性質是調製的性質呢？假設載波為正弦訊號，正弦訊號的傅裡葉變換是兩個脈衝函數，時域上的卷積不正是將頻譜的搬移嘛？故為調製的基礎。

4.比如微分濾波器

由微分性質可以知道，訊號微分後的傅裡葉變換就是該訊號的傅裡葉變轉乘以jw。我們可以認定該LTI系統的頻率響應為jw。有jw與w的關係可以看出，微分濾波器是縮小低頻，放大高頻訊號。比如一張圖片，變換快的字面上就為頻率高的（也就是邊界條件），變換緩慢的就是低頻訊號，所以將一張圖片通過微分濾波器後，得到的結果就是圖片邊界條件，也就是圖片的大致輪廓。

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記住一些重要的訊號的傅裡葉變換是什麼，這樣在知道頻域上的就不用反變換求了，直接記出來便可！