極限的簡單應用

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引子：

龜兔賽跑的時候，如果讓烏龜先“跑”一段時間t1，那麼兔子將永遠趕不上烏龜(兔子睡覺是寓言故事，跟這兒一點兒關係都沒有)。

原因如下：

烏龜先走了t1分鐘，走了一段路程s1，這時候兔子從起點出發，當兔子花費了t2時間(按理來說小於5分鐘)跑了s1的路程，而在這t時間內，烏龜會向前走s2的路程，兔子需要花t3的時間再往前行走s2的路程，在t3時間內，烏龜會再次行走 s3 的路程。。。。。。。一直這樣進行下去之後，兔子只會和烏龜的距離越來越接近，永遠也不能超過烏龜。

這種情況當然不會真的發生，這種說法乍一看好像是對的，但是在心裡總會感覺哪兒又不是這樣。

在重新複習了一下微積分後，終於想通了這個問題。啊！奇妙的數學。

正解：

兔子會在 t(n)時刻和烏龜距離起點的路程相同，超過 t(n) 後，兔子會超過烏龜。

用極限的方法來說明這個問題。

設烏龜和兔子的速度都是勻速。vt 表示兔子的速度，vw 表示烏龜的速度，vt=vw+a  (a>0)

烏龜比兔子先跑了 b 時間， b 時間之後，兔子開始從起點出發，兔子的時間 tt 為 烏龜的時間減去 b。tt + b = tw     (b>0)

路程 s 為 速度和時間的乘積。st = vt*tt

                                      sw = vw*tw

求：st=sw 的時間。

sw-st=0  =====>   vw*tw - vt*tt = 0 =====>這時得到的解就是兔子和烏龜在距離起點相同路程的時間。

假設這個時間最後為 tn，我們可以說

在時間在 tn 時刻的極限值為 m, 這時 f(tn)=g(tn)。

lim f(t)=lim g(t)

t->tn  

從初等數學中求解是很容易的事情，但是個人覺得用極限的理論來反駁剛才的引子應該算是一個比較不錯的方法。

極限的簡單應用