簡單整數劃分問題

1.純遞迴

設函數func(int n, int m) 定義為計算 把整數 n 劃分為 小於或等於 m 的一系列數字之和 的劃分方法有多少種，則對於：

（1）當 n == 1 時，無論 m 取何值，都只能 劃分為 1；

（2）當 m == 1 時 ，無論 n 為何值， 也只能劃分為 n 個 1 相加 ，只有一種劃分方法；

（3）當 n < m, 顯然 func(n, m) = func(n , n);

（4）當 n > m 時， 可分兩種情況討論，

(1)劃分中包含 m 時， 有func(n -m, m) 種劃分方法；

(2)劃分中不包含 m 時， 有 func(n, m-1)種劃分方法；

所以  func(n ,m) = func(n -m, m) + func(n, m-1);

（5）當 n == m 時，當劃分包含 m 時， m = m ,只有一種劃分方法；

 當 不包含 m 時， 有 func(n, m-1) 種劃分方法。

根據以上分析：

func( n, n ) = 1, 當 n ==1;

func( n, n ) = 1, 當m == 1;

func( n, n )  = func( n,n ) , 當n < m;

func( n, n )  = func( n, m-1) +1 ,  當n == m;

func( n, n ) = func ( n - m, m ) + func ( n , m -1) ,  當n > m;

相應的代碼如下：

/* * 1.cpp * *  Created on: 2017年9月01日 *      Author: Administrator */#include <iostream>using namespace std;int func(int n, int m){if(n == 1 || m == 1){return 1;}else if(n < m){return func(n,n);}else if (n == m) {return func(n,m-1)+1;} else if(n >= m){return func(n,m-1) + func(n-m,m);}}int main(){int n;while(cin>>n){cout<<func(n,n)<<endl;}return 0;}

2.記憶型遞迴：

/* * 1.cpp * *  Created on: 2017年9月01日 *      Author: Administrator */#include <iostream>#include <string.h>using namespace std;const int maxN = 1000;int dp[maxN][maxN];int func(int n, int m){if(n == 1 || m == 1){return 1;}else if(n < m){if( dp[n][m] != -1 ){return dp[n][m];}else{return dp[n][m] = func(n,n);}}else if (n == m) {if( dp[n][m] != -1 ){return dp[n][m];}else{return dp[n][m] = func(n,m-1)+1;}} else if(n > m){return dp[n][m] = func(n,m-1) + func(n-m,m);}}int main(){int n;memset(dp,-1,sizeof(dp));while(cin>>n){cout<<func(n,n)<<endl;}return 0;}

3.動態規劃：

/* * 1.cpp * *  Created on: 2017年9月01日 *      Author: Administrator */#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;#define N 55int f[N][N];int main(){int n;    while(cin>>n){        n++;        for(int j=1;j<=n;j++){            f[1][j]=1;            for(int i=2;i<=n;i++){                if(i<j) f[i][j]=f[i][j-1];                else f[i][j]=f[i-j][j]+f[i][j-1];            }        }        printf("%d\n",f[n][n]);    }}