單源最短路徑---Bellman-Ford演算法

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1.Dijkstra演算法的局限性

像，如果用dijkstra演算法的話就會出錯，因為如果從1開始，第一步dist[2] = 7, dist[3] = 5;在其中找出最小的邊是dist[3] = 5;然後更新dist[2] = 0，最終得到dist[2] = 0,dist[3] = 5，而實際上dist[3] = 2；所以如果圖中含有負權值，dijkstra失效

2.Bellman-Ford演算法思想

適用前提：沒有負環（或稱為負權值迴路），因為有負環的話距離為負無窮。

構造一個最短路徑長度數組序列dist1[u] dist2[u]...distn-1[u]，其中：
dist1[u]為從源點v0出發到終點u的只經過一條邊的最短路徑長度，並有dist1[u] = Edge[v0][u]

dist2[u]為從源點v0出發最多經過不構成負權值迴路的兩條邊到終點u的最短路徑長度

dist3[u]為從源點v0出發最多經過不構成負權值迴路的三條邊到終點u的最短路徑長度

................

distn-1[u]為從源點v0出發最多經過不構成負權值迴路的n-1條邊到終點u的最短路徑長度

演算法最終目的是計算出distn-1[u]，即為源點到頂點u的最短路徑長度

初始：dist1[u] = Edge[v0][u]

遞推：distk[u] = min(distk-1[u], min{distk-1[j] + Edge[j][u]})（鬆弛操作，迭代n-2次）

3.本質思想：
在從distk-1[u]遞推到distk[u]的時候，Bellman-Ford演算法的本質是對每條邊<u, v>進行判斷：設邊<u, v>的權值為w(u, v)，如果邊<u, v>的引入會使得distk-1[v]的值再減小，就要修改distk-1[v]，即：如果distk-1[u] + w(u, v) < distk-1[v],，那麼distk[v] = distk-1[u] + w(u, v)，這個稱為一次鬆弛

所以遞推公式可改為：

初始：dist0[u] = INF dist0[v0] = 0（v0是源點）

遞推：對於每條邊(u, v) distk[v] = min(distk-1[v], distk-1[u] + w(u, v))（鬆弛操作，迭代n-1次）

如果迭代n-1次後，再次迭代，如果此時還有dist會更新，說明存在負環。

 無負環的時候，迭代更新次數最多為n-1次，所以設定一個更新變數可以在不更新的時候直接跳出迴圈

拓展：

Bellman-Ford演算法還能用來求最長路，思路是dist數組含義是從原點出發到其他每個頂點的最長路徑的長度，初始時，各個頂點dist為0，在從distk-1[u]遞推到distk[u]的時候，Bellman-Ford演算法的本質是對每條邊<u, v>進行判斷：設邊<u, v>的權值為w(u, v)，如果邊<u, v>的引入會使得distk-1[v]的值再增加，就要修改distk-1[v]，即：如果distk-1[u] + w(u, v) > distk-1[v],，那麼distk[v] = distk-1[u] + w(u, v)

4.代碼實現：

輸入：

7 10
0 1 6
0 2 5
0 3 5
1 4 -1
2 1 -2
2 4 1
3 2 -2
3 5 -1
4 6 3
5 6 3

輸出：

從0到1距離是： 1   0->3->2->1
從0到2距離是： 3   0->3->2
從0到3距離是： 5   0->3
從0到4距離是： 0   0->3->2->1->4
從0到5距離是： 4   0->3->5
從0到6距離是： 3   0->3->2->1->4->6
不存在負環

 1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 #include<queue> 7 #include<stack> 8 #include<map> 9 #include<sstream>10 using namespace std;11 typedef long long ll;12 const int maxn = 1000 + 10;13 const int INF = 1 << 25;14 int T, n, m, cases;15 struct edge16 {17     int u, v, w;18 };19 edge a[maxn];20 int path[maxn], d[maxn];21 bool Bellman(int v0)22 {23     for(int i = 0; i < n; i++)d[i] = INF, path[i] = -1;24     d[v0] = 0;25     for(int i = 0; i < n; i++)//迭代n次，如果第n次還在更新，說明有負環26     {27         bool update = 0;28         for(int j = 0; j < m; j++)29         {30             int x = a[j].u, y = a[j].v;31             //cout<<x<<" "<<y<<" "<<a[j].w<<endl;32             if(d[x] < INF && d[x] + a[j].w < d[y])33             {34                 d[y] = d[x] + a[j].w;35                 path[y] = x;36                 update = 1;37                 if(i == n - 1)//說明第n次還在更新38                 {39                     return true;//返回真，真的存在負環40                 }41             }42         }43         if(!update)break;//如果沒更新了，說明已經鬆弛完畢44     }45     for(int i = 0; i < n; i++)46     {47         if(i == v0)continue;48         printf("從%d到%d距離是：%2d   ", v0, i, d[i]);49         stack<int>q;50         int x = i;51         while(path[x] != -1)52         {53             q.push(x);54             x = path[x];55         }56         cout<<v0;57         while(!q.empty())58         {59             cout<<"->"<<q.top();60             q.pop();61         }62         cout<<endl;63     }64     return false;65 }66 int main()67 {68     cin >> n >> m;69     for(int i = 0; i < m; i++)cin >> a[i].u >> a[i].v >> a[i].w;70     if(Bellman(0))cout<<"存在負環"<<endl;71     else cout<<"不存在負環"<<endl;72     return 0;73 }

 

單源最短路徑---Bellman-Ford演算法