六度分隔與最短路徑

【最短路徑】

圓明園的北部有一個迷宮，據說古時候每次有慶典在圓明園的時候，皇帝會派一些宮女走迷宮，看誰

最先走到迷宮內的亭子，會有不錯的獎賞。

迷宮問題對數學家們來講雖然是小兒科但在電腦課程上卻非常重要，因為不同的求解會涉及到遞迴

，廣度優先和深度優先等演算法。

迷宮畢竟是一個放置在2維空間的有限聯絡的網路，也就是說，迷宮裡的每一個點，最多隻和周圍的4

個點(上下左右)發生關係，而且這些點的位置是固定的。

六度分割通常用來描述一個廣闊的社會網路（SN），現在大部分的社會網路服務都提供了搜尋功能，

即搜尋出一個使用者到達另外一個使用者的最短路徑，也就是找出這兩個使用者之間通過最少的使用者的連結

。

一般的SN提供的搜尋都是4度的，也就是例如A-B-C-D-E 稱為4度的分隔。提供5度搜尋和6度搜尋的幾

乎寥寥無幾，當然一方面是5，6度分隔的使用者很少，大部分的使用者都應該在4度內，另外一個方面是5

，6度分隔的搜尋在實際計算上也涉及非常大的運算量。

【SN搜尋演算法】

如果說尋找兩個人之間的最小分隔的路徑和尋找最短路徑可以類比，那麼唯一不同的是SN上每個節點

的聯絡可以非常的廣闊，不只是上下左右，而是十個甚至上百個聯絡。這是是一個多維空間內的最短

路徑的尋找。假設一個使用者平均有n個好友，那麼粗數量級估計一個使用者的4度好友大約有n×n×n×n＋n×

n×n+n×n+n ~ n^4，無疑是一個非常恐怖的數目。因此採用傳統的遞迴的方法顯然是不大現實的。

當然，事情並非這麼麻煩，有簡潔的方法可以加快找到使用者之間的最小分隔：不單是從一個使用者搜尋

，而是從兩個使用者同時搜尋，而看兩個使用者的2度之內的使用者是否有相同：
A-B-C
E-D-C
A和E的處在在兩度分隔的使用者基本上數目估計都在n的平方。問題變成了比較n^2和n^2之間有沒有相同

，這個計算的時間等同於2×n^2的排序所需要的時間。

【SN索引】

那麼能否繼續加快速度？
當然可以，可以提前對使用者的好友進行索引，對好友的好友進行索引，這樣在未來進行關係的搜尋時

會大大加快：

A: {A1} {A2} A1為A的好友的集合，A2為A的好友的好友的集合
E: {E1} {E2}

那麼
1度分隔為： A 屬於｛E1｝，等同於E屬於 {A1}
2度分隔為： A 屬於｛E2｝，等同於E屬於 {A2}，{A1}{E1}有共同項。
3度分隔為： {A1} ｛E2｝有共同項，等同於A屬於 {E2}
4度分隔為： {A2} ｛E2｝有共同項

【SN關係的更新】

當然，發現是一個核心問題，另外一個問題就是更新，因為SN的關係不會是一成不變的，在一個活躍

的SN社區裡，每天使用者之間的關係的更新更是可觀。這裡只考慮關係添加的例子：

A: {A1} {A2}
E: {E1} {E2}

當A 與 E 直接建立了好友關係後，應該說整合系統的關係全都變化了，因為這個新的關係一定會導致

一些關係的短路，從而導致很多現有的關係的調整。但是因為我們只儲存2度分隔以內的關係，也只關

心兩度分隔以內的關係，因此當發生了一個新的關係後，2度內關係的變化一定是A和E本身或者他們的

一度關係的使用者，再遠的使用者將不受這個關係的影響。

因此首先 所有｛A1｝的元素的二度分隔集合裡要加上E，所有｛E1｝的元素的二度分隔集合裡要加上A

。

然後是二度的修正。分別加上對方的1度。
{A2} = {A2 + E1}
{E2} = {E2 + A1}

最後是一度的修正：A, E 的 一度{A1}{E1}需要加入E,A:
{A1} = {A1 + E}
{E1} = {E1 + A}

整體操作的量大約在2n次操作，比我們通常認為的要小的多